一个新的加强的不等式——一道国际竞赛题的推广

第六届IMO第2题,是一道耐人寻味的问题,即证明a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b—c)≤3abc.原题还要求a、b、C能构成一个三角形,而事实上条件还可以放宽,即只需a、b、c≥0即可.现在当然还看不出它有何奥妙之处,田延彦把这个不等式转化为一个完全等价的形式:

利用“b^2/a+a≥2b(a,b∈R^+)”巧解几道国际竞赛题

不等式证明是竞赛题中的重点和难点。本文针对几道国际竞赛题的特殊形式,通过添项变形利用b^2/a+a≥2b(a,b∈R^+)这一简捷不等式给出巧妙解法。

一个国际竞赛题的另证及其推广

第三届（1961年）国际数学竞赛试题中有一个题目:在△ABC中,a2+b2+c2≥4(31/2)△,等号仅当a=b=c时成立,a,b,c为△ABC的三边.本文将给出一个证明,然后用这个方法推广这个命题.先证明两个引理引理1 △≤1/3(31/2)S2,等号仅当等边三角形时成立.S表示三角形周长之半.证明1 因为周长一定时,以等边三角形面积为最大,所以周长为2S的三角形中以每边长2S/3的三角形面积为最大.

国际竞赛题的分析

文[1]通过构造向量的方法,提供了一道国际数学竞赛题的一个十分巧妙的解法,读后颇受教益.本文再提供该题的五种解法,并进行初步的解题分析,供读者朋友参考.原题如下：