圆面积公式与圆周率究竟是怎样推求的

数学史上关于圆的度量和圆周率的推算，是中小学数学教学中十分有价值的史料．但对这一数学史实的认识有许多模糊的地方，运用与中学数学教学有关的例证澄清这一数学史实，给数学教学以重要启示：关于圆周率的教育价值应得到充分挖掘和客观体现．

圆面积公式S=πr^2与函数极限limx→0sinx/x=1等价

在高等数学中,重要极限lim x→0sinx/x=1在求函数极限时扮演着十分重要的角色,本文将对函数极限lim x→0sinx/x=1展开进一步的研究,讨论函数极限lim x→0sinx /x=1与圆面积公式S=πr^2的等价性,同时给出圆面积公式其他的等价刻画.

对“圆面积公式的推导过程”的反思

问题：学生怎么会忘记公式的推导过程? “圆面积公式”的经典推导思路是：先把一个圆平均分成若干份，然后将其拼成近似的长方形，最后根据长方形与圆的关系推导出圆的面积公式。随着教学改革的深入，圆面积公式的推导方法趋于多样化，即圆不仅可以转化成长方形，也可以转化成平行四边形、三角形、梯形等。纵观这些方法，不管将圆转化成什么图形，推导原理却是一致的，概括成6个字就是：先分再拼后推。

如何让学生想到将圆等分成扇形来推导圆面积公式

教学圆面积公式推导时,需要将圆等分成扇形来研究,教师可以采用以下教学过程。一、回忆平行四边形面积公式的推导PPT演示(如图1),启发学生回忆平行四边形面积公式推导的过程。预设学生回答:将平行四边形通过割补,转化成已经掌握面积计算公式的长方形,找到平行四边形的底、高与长方形的长、宽之间的联系,最终得出剪拼后的长方形面积等于原来平行四边形的面积,这就是“转化思想”。

圆面积公式的推导及思考

一、背景 这是一节圆面积公式推导的教学课。课堂上，教师让学生动手操作自主探索，放手让学生将已等分成的16个近似的小三角形，拼成一个近似的已学过的图形进行推导。教师因势诱导、启发学生合作交流后，

由祖暅公理推导椭圆的面积公式

祖暅是祖冲之之子，南北朝时期的数学家和天文学家，他曾提出“夫叠蓁成立积，缘幂势既同，则积不容异”这一公理，也即“等高处截面积都相等的两个立体，必有相等的体积”．祖暅利用这一公理导出了半径为r的球的体积公式V=4/3πr3．

推导圆面积公式的新尝试

数学课本上把圆平均分成若干(偶数)个相同的小扇形,然后把这些小扇形拼成近似的长方形,圆的面积等于这个长方形的面积,由此推导出圆的面积公式是S=πr~2。在数学社团活动中,蒋老师要求同学们继续拼一拼、想一想,看看还有没有别的推导方法。大家动手操作后,进行了交流展示。第一小组同学探究:课本是把一个圆分成若干个相同的小扇形,如果把两个圆平均分成若干个相同的小扇形,把这些小扇形拼在一起(如下图),会转化成什么图形呢?比如先把每个圆平均分成16个小扇形,再像下图那样拼一拼。

课题:探索圆的面积公式

教学内容：冀教版《数学》六年级上册第87～89页。 教学目标： 1．经历估算、小组合作操作、讨论等探索圆的面积公式的过程。 2．理解并掌握圆的面积公式，能运用公式正确进行计算。 3．体验圆面积公式推导的探索性和结论的确定性，获得转化的数学思想和方法。

HPM视角下圆的面积公式教学

'圆的面积'是沪教版数学六年级上册的内容。在已有的教学设计中,大多数教师依照教科书的编排方式,将圆面积转化为已学图形面积进行计算。在这种教学方式下,学生难以真正体会极限思想和'以直代曲'思想。为了让学生更好地体会图形变化中无限逼近的数学思想,更深入地理解圆面积公式,文章从HPM视角对'圆的面积'设计教学,通过融入刘徽的割圆术、阿基米德的同心圆法、开普勒的分割变形法等数学史料,促进学生对圆面积公式的理解,帮助学生突破认识上的障碍。

思想·方法·知识——谈谈“圆的面积公式”的教学

众所周知．圆的面积公式的教学是小学数学教学的一个难点。对此．现行小学数学教材采用了把圆等分成若干个小扇形．用这些小扇形一正一倒拼成一个近似的平行四边形的方法推得的。如此教学体现了圆的面积公式的证明方法．逻辑上正确严密，又合乎学生的认识水平，当然无可非议。

尊重猜想守望发现——从“圆环面积”的计算谈起

【案例回顾】 苏教版五年级下册《圆的面积公式的应用》有一块关于“圆环的面积”的教学内容，笔者在2013年与平行班的老师一起执教了这个内容。记得很清楚当时在做完练习后，隔壁五（3）班的一位同学向我讨教了一个问题，具体情况如下。

化圆为方——求圆面积公式

怎样求圆的面积?这是一个非常简单的问题,用圆的面积公式S=π^(r)(r指的一排面式是圆的半径)一算,答案就出来了。可是你知道这个公式是怎样得来的吗?这需图、要我们从求平面图形的面积公式说起。长方形的面积公式在平面图形中,计算长方形的面积最容易。

“面积公式推导”教学序列思考与实践

国内教材多边形面积公式推导的教学序列为“平行四边形面积—三角形面积—梯形面积”,在面积公式推导方法学习上存在认知跨度大、整体教学欠强等状况,如平行四边形面积的剪拼法与三角形面积的倍拼法,学生很难在两者之间自觉“转身”。针对这一现状,教学应立足整个单元,重新构建教学序列,优化学习路径,进一步提升面积公式推导探索的自主性与进阶性,从而在数学思想感悟、基本活动经验积累和逻辑推理等学科核心素养的培养上发挥出价值。为此,由浙江省小学数学特级教师宋煜阳领衔的团队围绕“激活经验、提炼方法、扩展应用、沟通整合”的思路进行了深入研究,取得了一定的成果,本刊特组织专题予以刊发,欢迎大家参与讨论。

自觉反思,让学习走向深刻——以“圆的面积”教学为例

这是一节随堂课，教学内容是苏教版小学数学五年级下册“圆的面积”。课上，教师引导学生推导出圆的面积公式后，出示了如下三道练习题：（1）一个圆的半径是4厘米，求该圆的面积。

课题:已知圆的直径求面积

教学内容：冀教版《数学》六年级上册第50、51页。教学目标：1.结合具体情境，能灵活运用圆的面积公式解决简单实际问题的过程。2.掌握已知直径求面积的计算方法，能解决生活中简单实际问题。3.感受数学与生活的密切联系，增强学生的应用意识，提高运用知识解决简单实际问题的能力。课前准备：一个直径30厘米的水桶。

以学生发展为本——“圆的面积”教学反思

有人曾经说,“教学是一门遗憾的艺术”。教学“圆的面积”这节内容时,我在这门遗憾的艺术中获得了一点点的成功。兴奋之余,我对自己的教学进行了反思。在以往的教学中,我发现学生对圆的面积公式的理解只是停留在“知其然,而不知其所以然”的层面,不会把所学的知识应用到实际生活中。自己也感到这节内容不容易上活。为此,在教学设计时,我仔细研读教材,依据学情,将教学目标定为:学生理解圆面积公式的推导过程,并能运用公式解答一些简单的实际问题。

在组合图形中探索面积问题——《圆的面积的拓展练习》教学设计与说明

【教学内容】苏教版《义务教育教科书·数学》五年级下册《圆》的增补内容。【教学重难点】重点:组合图形中圆面积的计算难点:割补法求组合图形中圆的面积【课前思考】学生在学习完圆这一章节内容后已经可以熟练运用圆的面积公式S=πr2,然而例题简单而习题困难,仅仅这些是不足以解决问题的,特别是当碰到组合图形中圆的面积问题时大部分学生便束手无策。主要原因在于:无法将题目中所求的不规则图形进行拼凑、割补转变成规则图形。针对这一学生易错、常错且迫切需要解决的问题,有必要进行一次组合图形中圆面积问题的专项讲解。

关于刘徽的割圆术

割圆术是刘徽圆田术注的核心内容,其主旨在于证明《九章算术》中的圆面积公式.刘徽所采用的极限过程是为进行无穷小分割并最后证明圆面积公式做准备的,并不是为了求圆周率.求圆周率是用不到极限过程的,它只是极限思想在近似计算中的应用.对刘徽求圆周率程序的错误理解,会将刘徽置于他从未犯过的循环推理的错误之中.

以人为本 开展真评价——《圆柱的体积》课堂评价的实践与思考

实践证明，对学生的学习进行真评价，有助于教师及时了解教学效果，调整和改进教学，提高教学效率。因此，我十分重视倾听学生的发言与讨论，观察学生的表情和行为，捕捉学生的点滴成功，察觉学生的烦恼和问题，以便及时给予强化和鼓励、帮助和引导。现以苏教版小学数学六年级下册《圆柱的体积》的课堂教学为例，说明实现真评价的重要。师：请同学们回忆一下，圆的面积公式是怎样推导出来的？生1：将圆平均分成好多等份，拼成一个近似的长方形。生2：平均分成若干等份，分得越多越接近长方形。