双重准可分解4-圈系

设G=λKv是λ重v阶完全图,即任意一对顶点间恰有λ条边相连.图G的一个m-圈系是长度为m的圈的集合C,其中所有圈的边恰好构成图G边集的划分.若C中的m-圈能够划分成为准平行类R={R1,R2,…,Rλv/2},那么就称该m-圈系C为v阶准可分解m-圈系,记为(v,m,λ)-NRCS,且称R为该设计的一个准分解类.如果(v,m,λ)-NRCS C存在一对正交准分解类,则称之为双重准可分解m-圈系,记为(v,m,λ)-DNRCS.当m=2和3时,(v,2,2)-DNRCS以1v型Room方和(v,3,2)-DNRBIBD为大家所知.Mullin和Wallis建立了1v型Room方存在的谱系.Abel、Lamken、Vanstone和Wang等建立了(v,3,2)-DNRBIBD存在的谱系.文章利用直接构作和递推构作完全建立了(v,4,2)-DNRCS存在的谱系.即证明了(v,4,2)-DNRCS存在的充分必要条件是v≡1(mod 4),其中v=9是唯一例外.