均值不等式中等号成立条件在解题中的导向作用

课本中介绍了均值定理：a，b∈R^＊，则a＋b/2≥√ab（当且仅当a=b时取“=”号）它还有两个常用变式：ab≤（a＋b/2）^2,ab≤a^2＋b^2/2,都是当且仅当a=b时取“=”号，用它们可以实现两式（或数）之积与其和的平方或平方的和这三者之间的互化，这些大家都很熟悉，但鲜有人注意到其中等号成立条件对不等式问题的解答有启发和导向作用，本文对此作以下探讨，以期抛砖引玉．

活用均值不等式等号成立条件证难题

怎样证明不等式，大家常将关注落脚点放在不等式使用的技巧上，而对不等式的等号成立条件有所忽略．其实，如果注意合理使用不等式的等号成立条件，常常能帮助我们迅速找到一扇证明不等式难题的思路之门．

均值不等式等号成立条件的导向作用示例

对于均值不等式n√a1a2…an≤a1＋a2＋…＋an/n,当且仅当a1=a1=a3=…=an时等号成立，这是一个大家都很熟悉的条件，大多数人在解或证明不等式即将完成时，用它来完善不等式的解答，鲜有人注意到它对不等式问题的解答有启发和导向作用，下面我们就举例来说明．

均值不等式等号成立条件的巧用

应用均值不等式解题时，巧用其等号成立的条件，常常能使一些问题获得简单解决．

均值不等式等号成立的配凑技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点．在运用均值不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行配凑变形．均值不等式等号成立的条件具有潜在的应用功能．以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种配凑技巧．笔者通过实践，把运用均值不等式的配凑技巧概括为六类，下面对此作些论述．

巧用均值不等式及其等号成立条件求最值

最值问题一直是高中数学中常见的题型，其解法也是五花八门，同学们在学习了均值不等式后，对最值问题又多了一把解答的工具。

巧变换,灵活运用均值不等式解题

在附加条件下利用均值不等式求代数式的最大(或最小)值、取值范围或证明不等式,是数学竞赛或强基计划校考试卷中的热点问题.这类问题难度大、具有挑战性,导致直接运用均值不等式解题困难.因此,解题者需因题制宜,对式子进行恰当变换,在已知条件与待求式或待证不等式之间建立和谐、合理、有效的联系,促进问题的解决.解答这类问题的方法灵活多变、技巧纷呈,本文结合典型的竞赛或强基试题介绍一些常用、有效的解题技巧.

例说利用等号成立的条件证明不等式

在证明含有“≥，≤”的不等式时，如果能够关注其中等号成立的条件，并结合“均值不等式”、“柯西不等式”等号成立的条件，那么往往能够很快找到问题的突破口，从而收到事半功倍的效果．下面简单举例说明．

不等式中带恒成立条件问题的解题策略

“在给定区间上不等式恒成立”的命题的解法，一般有一次函数法、数形结合法、单调性法、判别式法、分离参数法、最值法、分类讨论法等．而以上方法主要贯穿于下述三种类型题的研究中：(1)一次不等式型；(2)二次不等式型；(3)一般不等式型．现分别讨论如下：

猜想“等号成立条件” 调整构造不等式证明

数学教育家波利亚说：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，先得猜想、发现出这个定理的内容，在完全作出详细证明之前，还得不断检验、完善、修改所提出的猜想．”当然数学猜想不仅是数学研究的一种科学方法，而且也是数学发展的一种重要形式，同时数学猜想中的种种推测总是能为我们提供解决问题的钥匙．以下先从一个不等式的证明开始．

均值不等式使用条件及其解题技巧

著名的均值不等式．若a2，a2，…，an∈R＋，则a1＋a2＋…＋an/n≥n√a1a2…an,仅当a1=a2-…-=an（n≥2,n∈N）时等号成立，是一个应用广泛的不等式．但在运用均值不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要以均值不等式的取等条件为出发点，对题中的式子适当进行配凑变形而巧妙地求出最值．为此掌握均值不等式求函数的最值的使用条件和解题技巧显得十分重要．

着眼于“等号成立条件”证明不等式

面对一个不等式,如果“经验”让你感到陌生,刹那间难以找到着手契机的话,往往习惯于先瞧瞧其结构,看看等号何时成立,然后探寻证明思路.本文意在介绍一类具有轮换对称不等式,如果着眼于‘等号成立条件”,便可发现一种“出奇制胜”的证明途径.

待定系数法结合均值不等式解决多元条件极值问题

均值不等式是高中数学的重要内容,其内容容易理解,但是具体运用时则灵活多变.国家课标对均值不等式的要求难度并不高.但是2020年的北大和复旦强基计划数学试题都考查了利用待定系数法结合均值不等式解决给定条件下多元函数的最值问题.我们又注意到前两年的清华领军计划也都考查了类似的题目.这类题目的频繁岀现,使得准备强基计划的同学必须引起高度重视.为此,我们撰写本文对这种方法进行一点梳理.

用均值不等式求最值时定值条件的构造技巧

利用均值不等式求最值是高中数学教学的一个重点,也是近几年高考的一个热点。利用它时,具备的三个必要条件——即一正(各项的值为正)二定(各项的和或积为定值)三相等(取等号的条件)更是相关考题瞄准的焦点。在具体的题目中,“正数”

用均值不等式取等条件的启思导向功能解题

本文以均值不等式等号成立条件为解题突破口,合理配项证明不等式.

不等式中等号成立条件的应用

在高等数学或初等数学中,普遍地存在着形形色色的矛盾,然而矛盾着的双方,无不依照一定的条件而互相转化,比如等式与不等式就是既对立而又统一的,在等式中有时潜在着不等,在不等式中有时也潜在着相等,当着不等式依照一定的条件向着等式转化时,不等式两边之间的关系就发生了突变。一种新的思考方法也就会随之孕育而生。这时,灵活地利用这种转变,往往可以使问题的解决,获得化难为易,化繁为简的效果。