垂心四面体4态的正弦余弦定律及其换元算法——四维体积勾股定理的应用(公式六)

正交4球心组成的垂心四面体,仅用四球半径和垂心球间距公式。证明了3组正弦定理、5组余弦定理;各2组2面角的正弦定理、余弦定理;且证明了同构于球面三角学的正弦定律和余弦定律。垂心四面体4态换元算法使得计算更为直观和简便。

垂心四面体的性质

四面体是空间最基本的几何体,其地位犹如平几中的三角形。为使解决立几有关问题能够获取理论依据,较快找到有效的解题途径,本文拟对一种特殊的四面体——垂心四面体及其性质作一浅析。一、引理 1、一组对棱垂直的四面体,过这组对棱中任一条的两端点所作的两高线必相交。

垂心四面体的勾股4态15个外接球半径、外心坐标及距离的算法——四维体积勾股定理的应用(公式九)

用正交4球半径的4元数,证明:垂心四面体的勾股4态的15个外接球半径同构公式、外心坐标同构公式;及其用外接球半径计算外心距离公式;以及12组棱角、6组面角,它们的互补对角的正弦余弦的代数值公式。

证明垂心四面体的内切球、4面和6棱旁切球半径坐标的算法——四维体积勾股定理的应用(公式五)

正交4球心组成的垂心四面体,在欧氏3D坐标系中,仅用四球半径,计算内切球、4面6棱10个旁切球半径和球心坐标的同构公式,同时得出内切球球心与外接球球心的间距公式。

证明正交四球间15个垂心球及距离公式的算法——四维体积勾股定理的应用(公式(三))

1球至4球正交球心构成的垂心四面体,存在4点、6线、4面、1体15个垂心球,这15个垂心球间的105个间距,除了可用2点坐标的距离公式计算外;还可以摆脱坐标直接利用垂心球间距公式计算。并且证明了同态重心与垂心间距为2球半径的平方差。

四面体的十二点二次曲面

垂心四面体中四条高的垂足,四个面的重心及从各顶点与四面体的垂心连线的三等分点,共十二个点共球.试图把垂心改为四面体内的任意点,相应地把四条高线改换为过该点与每个顶点连线的共点直线组时,则将把垂心四面体的十二点球有趣地推广为四面体的十二点二次曲面.

体积勾股定理的证明

用Cayley-Menger行列式证明:当四面体满足“对棱相等、或对棱的平方和相等”时,存在体积勾股定理:“该四面体的体积的平方等于所围的四个面外凸的直角四面体体积的平方和”,其公式为:V2ABCD=V2ABC4+V2ABD3+V2ACD2+V2BCD1(标注见:图1)。

证明正交四球间15个重心球及距离公式的算法——四维体积勾股定理的应用(公式二)

1球至4球正交球心构成的垂心四面体,存在4点、6线、4面、1体15个重心球,这15个重心球间的105个间距,除了可用2点坐标的距离公式计算外;还可以摆脱坐标直接利用重心球间距公式计算。

证明以正交4球半径为4元数欧拉线的算法——四维体积勾股定理的应用(公式四)

正交4球心组成的垂心四面体,在欧氏3D坐标系中,仅用四球半径,按勾股4态的4个共球半径、球心坐标、球心距垂心间距均有各自的同构公式。

证明正交4球6平面及四维垂直的四维空间算法——四维体积勾股定理的应用(公式七)

在欧氏3D坐标系中,通过正交4球空间的6平面及其旋转,证明正交4球空间即为四维相互垂直的四维空间。