四元消法的增根与减根问题

四元消法是《四元玉鉴》（1303年）所载四元术之核心内容。该算法是中国传统数学的重要成果之一,历来给予充分的肯定。文章以行列式计算所得方程与原著由四元消法所给之方程比较,举例说明该算法可能产生增根或减根。作者试图为全面认识与评价四元消法给出一个新的视角。

也谈四元消法的增根与减根问题

四元消法是中国传统数学的重要成果之一,对于四元消法的增根与减根问题,李兆华先生曾经讨论过.笔者指出了四元消法可能产生增根和减根的原因及途径,并从四元消法法则的统一表示出发,把四元细草用吴消元法的笔算算法写出,用代数方程理论讨论四元消法的增根与减根问题,为准确认识与评价四元消法给出一个新视角.

强化数学思辨 凸显内在关联 提升核心素养——以分式方程有增根和无解为例

解分式方程时，我们常常会碰到两种情况：增根和无解．分式方程的增根是在把分式方程转化为整式方程这一变形过程中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．而分式方程无解则是方程本身就是一个矛盾的等式，不论未知数取何值，都无法使得这个方程两边的值相等．“增根”和“无解”是两个不同的概念，但对于初学者来说往往难以区分．在分式方程的教学中，

中考题也会出错——对“有增根”类中考试题的讨论

分式方程产生增根，一直是数学界中的老话题．虽然不少老师有过辩论，但事实上大多数老师对增根的理解是片面的，甚至有的理解是错误的，并且一直未能得到更正．比如《初中数学教与学》（人大复印资料）2010年第9期刊登的《参数n的值是怎样漏掉的》一文（下称文1），该文有4道涉及“有增根”的中考试题，试题题目表述有严重缺陷，但老师们没有察觉，并把这些题目作为典型例题，轮番供学生们训练，表现出对增根的误解，现作一些澄清，如有不妥，恳请同仁指正．

分式方程增根问题的讨论

当m=3时，原分式方程有增根． 上述两题的提法及解法都存在问题．我们先来探讨分式方程的增根是怎样产生的． 解分式方程时．通常在分式方程的两边乘以分式方程中各分母的最简公分母，从而达到去分母．把分式方程化为整式方程的目的．再解整式方程，求出整式方程的解．最后检验整式方程的解是不是原分式方程的解．一般是将整式方程的解代人最简公分母，如果最简公分母的值不为O，则整式方程的解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为O，则这个解只是整式方程的解，不是分式方程的解，对于分式方程来说，这个解就是增根．

由一道分式方程题引起对增根的思考

许多学生选择（D），认为增根就是使方程的最简公分母（x＋1）（x-1）为零，即x=-1或x=1．这显然是对增根的片面理解所造成的．

对“有增根”类分式方程改进命题解法的质疑——兼与罗峻老师商榷

《中学数学》（初中版）2013年第5期刊登了罗峻老师的文章《中考题也会出错——对“有增根”类中考试题的讨论》（下称文1），笔者拜读后受益匪浅，被罗峻老师严谨的治学精神和对数学问题敢于质疑的精神所感动．

“老师，增根怎样舍去？”

我班不少同学在解答完毕之后特别自信，认为自己的答案正确无误，特别是得出两个或两个以上的答案时，很少持怀疑的态度去审查自己的解题过程，而是确信无疑该题就是有两解；只有当作业批改来后，才去想一想，有的也只是看一看别人的答案后，脱口而出“这题我会的，就是粗心了”，“我没有看清题目的条件”，“我没有想到这个公式还有限制条件”等等理由，没有追根求源的习惯．这种学习太被动，我们应该化被动为主动，主动去分析产生多解的原因，在提升解题质量与思维能力上多下功夫．

分式方程增根的作用

由分式方程增根的产生知增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母为零．

三角方程的增根与失根

在初等代数中．分式方程、对数方程和指数方程的根都需要进行检验，这是因为在解方程的过程中．对方程可能实施了非同解变形的缘故。在解三角方程时，除了会碰到解代数方程的非同解变形问题以外．还由于各三角函数间的定义域的不同或某些三角变形．如正弦化半角的正切，会使允许值的范围扩大．也会是允许值的范围缩小。就增加了产生增根和失根的因素，从而是问题变得更加复杂．给我们判断三角方程解的真实性带来了新的困难。因此．弄清在什么情况下长生增根．什么情况下长生失根是十分必要的。下面就这两个方面谈谈我的看法。

小议分式方程“增根”与“无解”

伴随着教改活动的全面开展.初中学段数学课程的教改活动也在全面开展.解分式方程属于初中学段数学课程中数与代数部分较为关键的组成要素,在中考中的占比也较高,所以,一定要对分式方程的教学进行探析与研究.通常在对分式方程进行解答的时候,由于需要将分式方程转化为整式方程,要在方程两边同乘最简公分母,可是有时解得的未知数的值会使原分式方程中分式分母为零而无意义,这时方程会产生增根,原方程无解.由于学生对增根和无解两个概念理解不到位、不透彻,导致解决方程有增根或方程无解之类题目时出现困难,出错率较高.所以本文通过例题讲解与拓展应用的形式,分析了分式方程增根产生的原因、分式方程增根与无解的区别,对增根与无解的相关习题进行了较为详细的阐述,加深了对两个概念的理解.通过本文的探究,可增强学生解决增根、无解相关习题的能力.

分式方程增根问题的历史

随着HPM研究的不断深入，数学史在数学教育中的作用已经成为各国教育界的共识，J．Fauvel曾总结出约20个应用数学史于数学教学的理由，萧文强也给出了将数学史用于数学教学的8种原因，其中有：

小麦增根促蘖抗倒剂爱得福(ADF)1995年示范试验报告

1994年种麦期间,我们进行了关于“小麦增根促蘖抗倒剂爱得福(ADF)在小麦上应用示范项目”的研究。该项目安排在洪门乡定国村郭日明家麦田,现将示范试验情况报告如下:1 试验地基本情况试验地设在定国村郭日明家菜地,面积1.5亩,前茬为大白菜,土质为两合土,上等肥力,排灌方便,历年小麦单产在500公斤左右。

关于分式方程增根问题的探讨

在解分式方程时，要在方程两边同时乘以最简公分母，所化成的整式方程与原方程并不一定是同解方程，整式方程的解就会出现两种情况：一是整式方程无解，导致原分式方程无解；二是整式方程有解，但是不适合原分式方程，即产生增根。所以说，分式方程无解不一定有增根，而有增根必无解，弄清了这两点，我们在求解有关分式方程增根的问题时，就会轻松一些。下面仅就几个典型的例题来进一步理解分式方程增根的问题。

分式方程“无解”一定就是“增根”问题吗？

以前遇到已知分式方程无解，求字母系数的取值的题目时，我以为分式方程“无解”问题就是“增根”问题（如例1），没在意它们之间的区别．可老师布置的一道习题（刚例2）却让我对它们的联系有了全面的认识，请看下面两例：

巧用分式方程的增根与无解

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，学生在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．1分式方程增根与无解的关系 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值．

深刻理解教学内容,践行“学材再建构”——从“分式方程增根问题”教学说起

最近一次教研活动中，笔者听了青年教师执教的一节“分式方程的增根与无解问题”习题课，对该课题的相关问题有了深入的思考．本文先概述该课的教学片段，再围绕分式方程的增根与“方程同解原理”给出一些阐释，供研讨．