实函数的相对处处不连续性

经典实函数理论指出：Ｒ１的一个子集合，要成为某个Ｒ１上实函数之不连续点的全体，当且仅当该集合为Ｒ１上可数个闭集的并。本文将给出进一步精细的刻画：考虑相对连续性，即指定Ｒ１的子集合Ａ，及实函数ｆ，对于Ａ之导集Ａ＇中一点ｘ０，考察ｆ（ｘ）是否存在，及极限是否等于ｆ（ｘ０），具体地，有着下述结果。设Ｅ为可数个闭集的并，Ｒ分为３个子集的不交并：Ｒ１＝（Ｅ∩Ｅ＇）∪（Ｅ－Ｅ＇）∪（Ｒ－Ｅ）。那么存在Ｒ１上的有界实函数，使得１：ｆ之不连续点的全体恰为Ｅ（与经典结果一致），２：当时，ｆ（ｘ）不存在，３：当时，不存在。

处处不连续又不可测的达布函数类的势

该文提出了一种构造处处不连续，而且在任何区间内取到任一函数值ｃ次的达布函数类的新方法，证明了该函数类的势为２＾ｃ（ｃ为连续统势）；还得到了处处不连续又不可测的达布函数类的势为２＾ｃ。

开映射与人类视觉(英文)

对距离线性空间之间的映射可选定三个条件(O1)、(O2)与(O3),它们均与映射是不是线性的无关,也与映射有无连续点无关。利用此三条给出了第一个既不要求映射线性也不要求映射有连续点的开映射定理:距离线性空间之间的映射若满足条件(O1)、(O2)与(O3),则它是开映射。本定理的诸多推论中包括一些重要事实:如描述视觉的目视映射是非线性的开映射,距离线性空间之间的线性算子是开映射当且仅当它满足条件(O1)与(O3)。

R上的和积变换与指数函数的关系

首先在研究了R上和积变换的基本性质以及连续与可导的粘性的基础上,讨论了R上和积变换与指数函数的关系,给出了指数函数的严格定义,最后构造了一个R上的和积变换处处不连续的实例.

无最小周期的周期函数

本文讨论了无最小周期的周期函数性质,论证了无最小周期的周期函数的处处不连续性以及这种周期函数的周期构成的集合的稠密性.

运算法则中条件的非必要性

微积分运算是通过运算法则实现的.极限、连续导教的四则运算法则,罗必达法则等等,都是高等数学中重要的运算法则.这些运算法则中的条件对结论的成立都是充分而非必要的,这同法则的使用条件有着严格的区别.教学中,如能加强对法则条件的非必要性的认识,帮助学生划清法则的使用条件同结论成立条件的界限.这对于深化概念。

函数的可定义性与Lebesgue定理的推广

有一个“实变函数论”的问题如下.设C=[-1,1],R为C中一切有理数的集合.试问:能否在[-2,2]上定义一个函数f(x),使f(x)在C上处处不连续而在R上处处左连续?这个问题可推广为下述的一般形式.设C是[a,b]的一个非空有界完全集,R是C的一个稠密子集.试问:能否在[a,b]