“多波束测线问题”的问题解析

给出2023年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛B题“多波束测线问题”的求解方法,并针对学生在参赛论文中出现的问题作了简要的说明与点评.为保证求解的连贯性,论文的前一部分是问题的求解,后一部分是参赛论文的点评.

多波束测线的仿真优化

本文针对多波束的测线方向和测线间距的问题。从相关理论入手,分析问题的几何特征,考虑测线方向的变化,推导得出海底坡面的法向量在水平面上的投影夹角β,经过数学推导,找出坡度和投影夹角的关系,给出了规则坡面下多波束测线方式模型。根据实际数据对模型进行推广,利用可视化工具建立三维海底地形图,给出不规则海底坡面下测线的最优方向和间距,从而得到一般情形下,最小化的测线总长度,证明了模型的普适性并得到局部最优解。

基于多波束测线问题的数学建模分析

本研究主要针对多波束测线在海洋测深任务中的应用进行探讨。多波束系统在海洋深度测量和海底地形研究中起着重要作用。研究中关注测线间隔、覆盖宽度和重叠率的设计。通过正弦定理和三角函数推导出海域中心点处的海水深度表达式,进而得到多波束测深的覆盖宽度和相邻条带之间的重叠率的数学模型。利用MATLAB软件对给定参数进行计算和模拟,得出不同测线距中心点处的距离时的海水深度、覆盖宽度和重叠率。进一步研究了测线方向和海底坡面法向之间的角度关系,将二维图形转化为三维图形,求解了坡度与测线方向的关系。在此基础上,通过穷举法确定最优测线布局,得出最短测线总距离为118,528米,设计出最优的测线布局。