数学奥林匹克问题

本期问题 初189 如图1，在△ABC中，AB：BC：CA=3：5：4，⊙O1、⊙O2是两个互相外切的等圆，且都与边BC相切，其中，⊙O1，又与边AB相切，⊙O2又与边AC相切．已知直线O1O2分别交两圆于点P、Q，分别过点P、Q作BC的垂线，垂足为M、N.求证：NC=2BM．

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本期问题 初255设2009可拆分为四个正整数的平方和，其中，两个数的比为5/14，另两个数的比为1/2写出这个拆分．

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本期问题 初219 设k是一个给定的正整数．试求出所有的实数a，使得关于x的一元二次方程ax^2＋ax＋a＋2006=0的两个根均为整数，且两根之差的绝对值不小于2k-1．

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本期问题 高387 如图1，已知△ABC的内切圆与三边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，AD与朋交于点G．证明：EB平分∠CEF的充分必要条件是FG=4GE．

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本期问题 初339如图1，P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且AP=CQ，OD是过C、D、Q三点的圆，PE与00切于点E．证明：PE=BQ．

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初247 设有n张同样大小的正方形卡片，分别写着一个正整数，这n个正整数是连续的两位数，这些两位数的和等于首末两项“合成数”（如1＋2＋…＋5=15，4＋5＋…＋29=429）．如果卡片的边长是大于1的整数，这些卡片面积的和为2009，那么，卡片上写的是哪此数？

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初249如图1，AB是O的直径，C是AB的中点，M是AC的中点，CH⊥BM于H．求证：

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初213 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：EG〈EF．

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本期问题 初271已知在分数112/19和112＋x/19＋x之间只有三个正整数．求整数x的一切可能值的和． 初272从正方形的顶点及各边中点这八个点中选取三个点，可组成多少个等腰三角形？

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初265在△ABC中，点M、N分别在边AB、AC上，AM=AN，D、E分别为CM、BN的中点，且BD=CE．求证：AB=AC．

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本期问题 初279如图1，过圆外一点P作圆的切线PA和割线PB1B2，切点为A，交点为B1、B2，再过点P作圆的另一条割线PCD交圆于C、D两点，

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初269 三角形的内切圆把它的一条中线三等分．求这个三角形三边的比．

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本期问题 高409 在△ABC中，已知a＋b=3c，其内切圆⊙I与边BC、CA分别切于点D、E，M为D关于点I的对称点，N为E关于点I的对称点，直线AM与BN交于点P.证明：点P在⊙I上．

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初355如图1，已知正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD交于点0，E为边BC延长线上一点，联结AE，分别与BD、CD交于点P、F，联结BF并延长，与线段DE交于点G，联结OE与CD交于点S．若PS//AC，求BG的长．