子午线弧长正解展开通式及数学分析

子午线弧长公式通常表示为大地纬度B的级数展开式,其系数以第一偏心率e为参数,本文利用第三扁率n对公式进行重新推导,并将其表示为三角函数的3种形式:倍角形式、指数形式和二倍角形式。重新推导的公式中各系数中的分母值都明显变小,个别高阶项系数消失,结构简单、形式简洁。基于此,对3种表示形式的8阶展开式和10阶展开式进行截断误差分析,结果表明3种表示形式的8阶展开式精度最低也有毫米级,能满足日常的使用场景,而10阶展开式精度提高了至少2个数量级,能满足高精度的使用场景。在高精度的使用场景下,不同表示形式的子午线弧长公式具有不同的实用性,分析表明在0°N—30°N低纬度地区推荐使用三角函数的指数形式,在30°N—55°N中纬度地区推荐使用三角函数的二倍角形式,而在55°N—90°N高纬度地区推荐使用三角函数的倍角形式。

子午线弧长正反解表达式3种形式的解析

为了分析不同表达式在计算效率方面的影响,给出了子午线弧长的3种表达形式,将其展开系数改写为第三扁率n的表达形式,并对不同形式的子午线弧长的截断误差进行计算分析,选取合适的项数,给出展开式的实用公式。结果表明,基于n表示的子午线弧长,其系数在分数形式上看起来位数更少,形式更简单,更便于推广使用;当正解精度为毫米时,展开式只需保留前4项即可满足精度,当反解精度为0.0001″时,展开式只需保留前4项即可满足精度;对于3种表达形式,二倍角形式计算效率最高,因此建议在子午线弧长正反解过程中采用二倍角形式。

基于第二类椭圆积分的子午线弧长公式变换及解算

通过推导,将子午线弧长公式变换为基于第二类椭圆积分的两种形式:"形式Ⅰ"将子午线弧长公式表达为一个有理函数和第二类椭圆积分之和,建立了以大地纬度B为自变量的子午线弧长公式与第二类椭圆积分之间的关系;"形式Ⅱ"给出了以归化纬度μ为自变量、直接利用第二类椭圆积分计算子午线弧长的公式。利用此两种形式的子午线弧长公式,在Matlab中编写程序,调用第二类椭圆积分函数EllipticE(x,k)计算子午线弧长,精度和计算效率均优于经典算法。对CGCS2000所采用的地球椭球子午线弧长的计算表明,此两种形式的子午线弧长公式建立了子午线弧长公式与第二类椭圆积分的关系,结构简洁,易于展开,一定程度上完善了子午线弧长理论,且便于手工计算及计算机程序实现。

依不同纬度变量的子午线弧长正反解公式的级数展开

推导了以归化纬度、地心纬度解算子午线弧长的展开公式,同时又根据拉格朗日反演定理,得到了由子午线弧长反解归化纬度、地心纬度的直接公式。该组公式与子午线弧长正反解公式的大地纬度表达在结构形式上保持一致,进一步揭示了子午线弧长同3种纬度变量之间的内在联系。分析表明,基于归化纬度的子午线弧长解算与大地主题解算方法具有理论上的统一性,正反解精度均高于传统基于大地纬度的展开。

任意精度的子午线弧长递归计算

根据子午线弧长计算公式,推导出基于递归关系的任意精度的子午线弧长的一种新的计算方法,以及基于C/C++语言的子午线弧长具体方法的实现,最后在VC6.0中进行了验证。结果表明,该方法可满足不同精度要求的弧长计算。

子午线弧长反问题新解

针对子午线弧长反解计算过于繁琐的问题,利用复合函数的求导法则,变换变量进行幂级数展开,给出了通项公式,利用Hermite插值原理推导了各参数,借助Mathematica计算机代数系统,得出了这些公式用偏心率e表示的幂级数表达式。经试算其精度在0.001″以上,可供实际使用。

子午线弧长和等面积纬度函数变换的直接展开式

为实现等距离投影和等面积投影间的直接变换,借助计算机代数系统Mathematica,推导出了子午线弧长和等面积纬度函数变换的直接展开式,将式中系数统一表示为椭球偏心率的幂级数形式,可解决不同参考椭球下的变换问题。算例分析表明导出公式的精度分别高于10-3km2和10-4m,可供实际使用。

计算子午线弧长的常微分方程数值法

根据计算子午线弧长的微分表达式,导出弧长正反算的标准常微分方程表达式,运用经典的四阶龙格-库塔法,用Matlab软件实现该算法。结果表明,运用常微分方程数值法求解子午线弧长,正反算理论一致、简单易行、精度可靠。

中国大地坐标系地球旋转椭球子午线弧长的严密精确解

由于椭球子午线弧长经典解存在3个缺陷,在大地测量学上会引入无法接受的误差.根据定积分的换元法,推导以大地纬度为自变量的地球旋转椭球子午线弧长精确解析解.按照2000中国大地坐标系、GRS 80和WGS 84所定义的2个基本椭圆常数(长半轴、短半轴),给出相应3种椭球子午线弧长.以椭圆第一偏心率为自变量,将解析解与文献[2]近似级数解做比较.研究结果表明,当椭圆第一偏心率较大时,文献[2]近似级数解的误差较大.在Matlab R2009b语言中,开发了2套命令文件.解析解为子午线弧长计算的实用化和误差控制提供了理论依据.

等角纬度与子午线弧长变换的直接表达式

为了便于实现等角方位投影与椭球等距离圆柱或圆锥投影之间的变换,借助具有强大符号运算功能的计算机代数系统Mathematica,推导出了等角纬度和子午线弧长之间变换的直接表达式,进一步将表达式改进为适合电算的形式,并将其系数统一表示为关于椭球偏心率e和椭球第三扁率n的幂级数形式。通过算例分析表明:基于第三扁率n的幂级数表达式具有更紧凑的形式和更好的收敛性,且导出公式的计算误差分别小于10^(-7)″和10^(-8)m,可以满足大地测量和地图制图计算精度要求。

计算子午线弧长的数值积分法

应用数值积分原理,提出一种子午线弧长正反算的计算方法。该方法计算原理简单,计算稳定性好,便于计算机编程实现,可以达到给定的计算精度。

椭球子午线弧长计算的新方法

根据子午线弧长的计算原理，推导出一个新的子午线弧长计算实用公式。采用新公式计算由赤道到纬度的子午线弧长时，在计算效果及计算精度分析方面比传统公式更加直观、准确。

由子午线弧长和球面梯形面积反算纬度的方法

提出了由子午线弧长Sm和球面梯形面积F反算纬度φ的原理和方法,给出了CASIOfx4800P计算器的反算程序,并用实例检验了该方法的正确性和可靠性。

基于第二类椭圆积分的子午线弧长反解新方法

基于第二类椭圆积分及拉格朗日反演理论,推导出子午线弧长反解的新方法。该方法为归化纬度的余弦函数的泰勒级数展开,给出了子午线弧长的分析解。算例表明,其收敛速度快,精度可靠,可以满足实际应用精度要求。

子午线弧长的解析型幂级数确定

针对子午线弧长反解计算过于繁琐的问题 ,文中利用复合函数的求导法则 ,变换变量进行幂级数展开 ,在近似情况下给出了通项公式 ,并严密推导了幂级数展开式。又设定子午线弧长反解公式的形式 ,利用Hermite插值原理得出各参数。用各方法得出的公式全部采用e2 的幂级数形式给出 ,可操作性、可重复性、唯一性都比较好。经试算其精度在千分之一秒以上 ,可提供实际使用。

符号计算系统及其在测绘中的应用——以子午线弧长反解为例

简要介绍了Mathematica及其它符号运算系统 ,并结合子午线弧长反解讨论了Mathematica在测绘中的潜在应用前景。

子午线弧长计算的数值积分算法及其比较

子午线弧长计算的经典算法是对子午线曲率半径按照牛顿二项式定理进行展开,分项积分得到近似解析解。研究了五种常用的数值积分算法及其在子午线弧长计算中的应用,并用Matlab软件予以实现。将数值积分结果与经典算法结果进行比较,结果表明:利用数值积分算法求解子午线弧长,简单易行,准确可靠。同时,还证明了复合辛普森算法和龙贝格算法要优于其它几种算法。

以空间直角坐标为参数的子午线弧长计算公式

以空间直角坐标为参数 ,推导出了子午线弧长的正反算公式。

子午线弧长公式的简化及通用高斯投影计算程序介绍

通过简化子午线弧长公式，给出适用于各种椭球的通用高斯投影实用公式，并简单介绍依此编制的通用高斯投影计算程序。

子午线弧长的一种新算法应用

介绍一种椭球子午线弧长的计算方法 ,并以我国常用的 195 4年北京坐标系椭球为例进行了实例计算。该法与椭圆积分计算方法相比较 ,公式简单明了 ,计算方法简便 ,并能满足精度要求。