2006年全国高考数学（Ⅰ）第12题:设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有A.50种 B.49种 C.48种 D.47种解:当 B={5}时,有2<sup>4</sup>-1=15种;当 B...2006年全国高考数学（Ⅰ）第12题:设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有A.50种 B.49种 C.48种 D.47种解:当 B={5}时,有2<sup>4</sup>-1=15种;当 B 中最小数为4时,有2×（2<sup>3</sup>-1）=14种;当 B 中最小数为3时,有2<sup>2</sup>×（2<sup>2</sup>-1）=12种;当 B 中最小数为2时,有2<sup>3</sup>=8种.∴共有49种,选 B.推广:设集合 I={a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>,…,a<sub>n</sub>},选择I的两个非空子集 A 和 B,使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法有多少种（a<sub>1</sub>【a<sub>2</sub>【…【a<sub>n</sub>）?解:当 B={a<sub>n</sub>}时,有 C<sub>1</sub><sup>1</sup>(2<sup>n-1</sup>-1)种;当 B 中最小元素为 a<sub>n-1</sub>时,有（C<sub>1</sub><sup>0</sup>+C<sub>1</sub><sup>1</sup>）·(2<sup>n-2</sup>-1)种;当 B 中最小元素为 a<sub>n-2</sub>时,有（C<sub>2</sub><sup>0</sup>+C<sub>2</sub><sup>1</sup>+C<sub>2</sub><sup>2</sup>）(2<sup>n-3</sup>-1)种;……展开更多
文摘2006年全国高考数学（Ⅰ）第12题:设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法共有A.50种 B.49种 C.48种 D.47种解:当 B={5}时,有2<sup>4</sup>-1=15种;当 B 中最小数为4时,有2×（2<sup>3</sup>-1）=14种;当 B 中最小数为3时,有2<sup>2</sup>×（2<sup>2</sup>-1）=12种;当 B 中最小数为2时,有2<sup>3</sup>=8种.∴共有49种,选 B.推广:设集合 I={a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>,…,a<sub>n</sub>},选择I的两个非空子集 A 和 B,使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法有多少种（a<sub>1</sub>【a<sub>2</sub>【…【a<sub>n</sub>）?解:当 B={a<sub>n</sub>}时,有 C<sub>1</sub><sup>1</sup>(2<sup>n-1</sup>-1)种;当 B 中最小元素为 a<sub>n-1</sub>时,有（C<sub>1</sub><sup>0</sup>+C<sub>1</sub><sup>1</sup>）·(2<sup>n-2</sup>-1)种;当 B 中最小元素为 a<sub>n-2</sub>时,有（C<sub>2</sub><sup>0</sup>+C<sub>2</sub><sup>1</sup>+C<sub>2</sub><sup>2</sup>）(2<sup>n-3</sup>-1)种;……
