有限域上完全对称多项式零点的新下界

有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一,本文考虑有限域Fq上完全对称多项式的零点问题.主要结果如下:设h(x1,…,xk)是有限域Fq上一个m次完全对称多项式(k≥3,1≤m≤q-2):(1)若q为奇数,则h(x1,…,xk)在Fqk中至少有[(q-1)/(m+1)]/(q-[(q-1)/(m+1)])(q-m-1)q^(k-2)个零点;(2)若q为偶数,且k≥4,则h(x1,…,xk)在Fqk中至少有[(q-1)/(m+1)]/(q-[(q-1)/(m+1)])(q-(m+1)/2)(q-1)q^(k-3)个零点.注意到,当m比较小的时候,上述新的下界改进了已有下界[4,定理1.4]和[3,定理1.2](见本文结论1.1和1.2)大约q2/6m倍.

有限域上完全对称多项式有很多零点

有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一.本文考虑有限域Fq上完全对称多项式的零点问题,主要结果如下:设h(x1,..., xk)∈Fq[x1,..., xk]是有限域Fq上一个m次完全对称多项式(k≥3, 1≤m≤q-3),(1)若m为奇数或者q为奇数,则多项式h(x1,..., xk)在Fqk中至少有6qk-3个零点;(2)若k≥4,则多项式h(x1,..., xk)在Fqk中至少有6(q-1)qk-4个零点.作为推论,我们证明了文献Zhang和Wan (2020)中的猜想1.7.

完全齐次对称多项式的两个猜想

2017年,Terence Tao(陶哲轩)[14]在网上发起了对完全齐次对称多项式正定性和Schur-凸性问题的讨论.n个变量次数为d(≥0)的完全齐次对称多项式定义如下:h_(n,0)(x_(1),…,x_(n))=1.