哥德尔不完全性定理的证明过程有误

简述了哥德尔第一不完全性定理和哥德尔第二不完全性定理,通过论证证明哥德尔的两个不完全性定理的证明过程有误。

哥德尔不完全性定理与人类对创造性的追求——侯世达对哥德尔不完全性定理哲学意蕴的阐释

哥德尔不完全性定理涉及人类理性、思维规律并被广泛应用于数学、哲学、语言学、心理学、人工智能等各个领域。因此,围绕着对其哲学意蕴的理解,在上述各个领域都爆发了激烈的争论。美国科学家霍夫斯塔特(即"侯世达")认为,包括理性认识和艺术创造在内的人类智慧在其形式化方面都是受到限制、有其边界、不可完全的,而其不完全性则意味着需要创造和创造性,需要突破现有界限,同时也意味着进行这种自由创造的无限可能性。

正确理解哥德尔不完全性定理

借澄清对哥德尔不完全性定理若干误解的机会,以直观与简明的方式阐述哥德尔不完全定理的内容、意义及哥德尔的相关工作。哥德尔不完全性定理包括两个内容:第一,一个不弱于初等数论的形式系统,如果一致,则不完全;第二,这样的形式系统如果一致,则这种一致性在系统内不可证。

哥德尔的辩证思维与不完全性定理证明

通过对哥德尔不完全性定理的证明语境和证明思维过程进行分析,可以从四个方面揭示出哥德尔思维方式的辩证性。这四个方面分别是:概念的相互隶属、问题的嬗变、系统与系统的同构转换以及悖论结构的转换和利用。

民主的路径:哥德尔不完全性定理的视界

一个不弱于初等数论的形式系统如果是一致的,则是不完全的。哥德尔不完全性定理明确揭示和证明自己把握“真”的能力限度。在这一点上,达尔似乎和哥德尔心心相通,拥有哈耶克式的知识论。达尔的多元主义民主通过多元因子的协同作用,使民主的影象越来越清晰。达尔对理性抱有深深的疑虑,因而不曾也不敢建构一个完美的形式系统以建构完美民主。民主从达尔开始具有了合理性。从乌托邦的纯粹民主步向了经验的协商民主。多元主义民主的合法性在博弈协商的过程中得以展现。

哥德尔不完全性定理和“心灵与机器”的关系问题

一些文献在阐述哥德尔不完全性定理的证明过程时,对一些技术细节没有做出明确说明,容易使人误解,因此需要对证明过程中ω一致性、系统外证明、元语句可表达性等作出强调。通过系统外证明的启示,分析了由哥德尔定理引起的有关心灵与机器(计算机)关系的争论,得出心灵优于所有目前原理计算机的论点。

基于直觉主义对哥德尔不完全性定理的评论——从维特根斯坦的评论开始

维特根斯坦对哥德尔定理的评论一向为人们所诟病。基于直觉主义,维特根斯坦的评论可以得到更好的理解。在直觉主义者看来,康托尔的对角线证明方法是不适当的,因为在证明中基于可数集定义的康托尔数是一直处于构造之中的,而且可数集与康托尔数的展开是相互追随的。证明中的矛盾不是来自前提错误,而是来自不正当的对康托尔数的定义和使用。同样,哥德尔定理证明中得到的矛盾是来源于哥德尔对哥德尔公式的不正当定义和使用。这一结论还可以推广到递归函数和图灵机这些等价的计算模型。

哥德尔不完全性定理剖析

介绍了哥德尔不完全性定理,论述了它的由来与意义。

对不完全性定理的深度的分析

基于当前文献中对数学深度的研究,并没有一个判断给定数学定理是否深刻的被广泛接受的一般标准。不完全性定理被广泛认为是逻辑领域“深刻”的数学定理。将不完全性定理作为研究数学定理深度的一个案例,其深度的问题可从两个方面加以研究:刻画不完全性定理的深度的标准是什么,如何基于这些标准论证不完全性定理的深度。基于文献中最新的研究成果,可提出三个刻画不完全性定理深度的标准:成果的影响力、结论的丰富性、理论的统一性;基于这三个标准,不完全性定理的深度可得到论证。

浅谈反证法的可操作性——基于康托尔对角线法、哥德尔不完全性定理、图灵停机问题及EPR悖论

一直以来,康托尔对角线法总是与反证法密不可分,然而反证法并不如通常看得那样简单。文章从操作主义的观点,针对反证法提出了几点可操作性的要求,然后分析了几个著名的反证法论证,发现都不同程度地存在一些问题。由于不恰当的隐性假设,康托尔关于实数集不可数的证明是无效的。哥德尔为证明不完全性定理而引入的一个定理违反了矛盾律,并且他关于"可证"与"真"的区分实际上是陷入了循环论证。图灵停机问题其实是比较晚近的提法,与图灵的原始论文有较大差别,而且有些证明思路可能还或多或少地误解了图灵。最后,通过分析爱因斯坦的EPR悖论,进一步强调了假设唯一以及事实认定,对于反证法的重要性。

以哥德尔不完全性定理认识偶数哥德巴赫猜想

哥德尔不完全性定理第一次破天荒地分清了数学中"真"与"可证"是两个完全不同的概念,揭示了形式化方法不可避免的局限性。对于偶数哥德巴赫猜想这一未决的数学难题,可以跳出形式化方法的局限性,以一种新的思维去认识它。

Godcl的完全性定理与早期数学哲学思想

Ｇｏｄｅｌ以其三大数学贡献闻名于世，Ｇｏｄｅｌ定理甚至被各个领域的人津津乐道。然而很少有人关注在他的巨大数学成就背后丰富而深刻的哲学思想。本文借助原始资料，通过对完全性定理证明与Ｇｄｅｌ早期数学哲学思想的分析，试图揭示他超越同时代人的深刻之处，并且指出，说Ｇｏｄｅｌ从二十年代后期起就是一个数学实在论者并不缺少证据。

计算主义形式系统难题:基于哥德尔不完全性定理的讨论

通过分析基于哥德尔不完全性定理的挑战,认为其对计算主义的批判是不成立的。虽然哥德尔不完全性定理确实可以打击形式系统,但却并不能说明它驳倒了计算主义,因为计算系统不是纯粹形式系统,而是由形式系统与非形式系统共同构成的完整系统,仅从形式系统来理解计算系统是偏狭的。卢卡斯等人对计算主义的反对与其论证背后的哲学预设"人心至上论"有关,从这个预设出发,自然会得出不利于计算主义的结论,而如果给予计算机和人以平等地位的话,并不能得出人心优于机器的结论。

三谈反证法的可操作性——基于蕴涵怪论与哥德尔不完全性定理

文章认为,蕴涵关系"P→Q"基于命题P与Q的真值约定是不可取的,而应该将其定义为有效推理,这样不但可以解决通常所谓的蕴涵怪论,更可以使我们对反证法有新的认识。实际上,由于"已知事实"的被忽略,反证法的两种常见模式——"~P→P,所以P"与"~P→Q,~P→~Q,所以P"——都是存在问题的;为此,在所谓的标准模式中,笔者特别强调了"已知事实"的重要性。最后,通过梳理哥德尔不完全性定理的整个证明过程,发现了三个导致其证明无效的重要因素:(1)根据"定理Ⅴ"推导的式(15)(16)有误,并且两式的"或"关系,被误当作了"与"关系;(2)使用了反证法的不当模式,也即"~P→Q,~P→~Q,所以P";(3)在肯定前件式的假言推理中,由于概念混淆造成了前件被肯定的假象。

四谈由悖论看概念的可操作性——再论“哥德尔不完全性定理”的逻辑矛盾

"从一个矛盾出发,结果可以是任何东西"这个所谓的"万能定理",在根本上就违反了逻辑推理的可靠性原则要求,而哥德尔不完全性定理与这一逻辑错误有密切关系。最后,通过分析欧几里得关于不存在最大素数的证明,指出了反证法可操作性的关键。

数学的噩梦:哥德尔不完全性定理 数学的“不完全性”与天才学者们的故事

数学,是一门由严谨的证明所构成的学问。而在这无数的证明中,却有一项“哥德尔不完全性定理”揭示了数学的“缺陷”。对于那些坚信“数学即完美”的学者们而言,库尔特·哥德尔所证明的这项定理正可谓如需梦一般。哥德尔不完全性定理的内容相对艰深,很容易让人产生误解,难窥其全貌。为了让各位读者更好地理解它的内容,本文将尽量以直白易懂的语言进行讲解,从有关的数学家们开始,追随他们的脚步,逐渐深入这项定理所描绘的数学世界。

哥德尔不完全性定理的哲学思考

哥德尔不完全性定理是20世纪逻辑和数学史上的一座里程碑,必在哲学上引发巨大的思考空间和反思力度。首先,既然"真"与"可证"不能等同的,那么"真"是否可定义的?"真"与"可证"两个概念之间到底是一种什么关系?其次,它是否意味着我们的知识是不确定的,如果能表明知识不是确定的,那我们是不是在知识的可靠性上要承认彻底的怀疑主义?再次,在人工智能化的今天,人的主体性地位受到严重的挑战,那是否意味着如后现代主义哲学家所说人的主体性将被抹去?等等。

哥德尔不完全性定理的科学推理意义

哥德尔不完全性定理在科学推理,特别是在通过有限步骤的手段而达到对无限的认识和把握中,具有重要的方法论意义,它启示人们对前提条件进行考察时讲究改进情景,通过转换形式,从不同系统着手,探索真理。

从描述和规定看不完全性定理的悖论关联及哲学意蕴

哥德尔不完全性定理与悖论有着耐人寻味的不解之缘。涉及描述自身规定的悖论本身就是描述边界的界碑,此界碑表明了形式系统本身的不完全性。哥德尔不完全性定理根源于规定的不完备性,它从形式上证明了,任何封闭的描述体系都是不完全的;悖论是走向新领域的门枢。在人类理性的边界处做出的规定,正是形式系统甚至所有封闭的理论体系不完全性的根源,从而正是哥德尔不完全性定理的根据。哥德尔不完全性定理的悖论关联,具有极为深刻的哲学意蕴。

直觉主义量词模态逻辑的一个强完全性定理

在Thomason讨论到的直觉主义一阶谓词演算的基础上引进Prior工作中揭示的模态直觉主义系统MIPC的模态机制 ,从而得到一个直觉主义量词模态逻辑系统MIPC ,并给予它一个语义解释 ,证明其关于该语义的强 (因而弱 )完全性定理 .多次实质性地用到Zorn引理 ,因而在方法论上较Thomason的结果更加远离直觉主义观点 .