第二类勒让德函数的重规格化及其优化

椭球谐函数级数展开是地球重力场椭球谐建模的基础。然而,处理椭球谐函数级数的主要困难在于计算第二类勒让德函数。而Jekeli的重规格化方法简化了这一计算过程。本文在Jekeli重规格化的基础上,详细推导了两种基于高斯超几何函数变换的优化递归方法,同时利用这两种优化递归的方法计算了第二类勒让德函数,并将其展开到二阶导数。通过数值计算,证明了优化递归方法可以有效加快收敛,缩短计算时间,并且适用阶数更高,这使得椭球谐函数级数在实际应用中更加方便、可行。

完全规格化缔合勒让德函数常用递推算法的适用性

完全规格化缔合勒让德函数递推算法的适用性是衡量算法优劣的重要标志。从第一相对数值精度、第二相对数值精度和计算速度等方面对4种常用的递推算法——标准向前列递推算法、标准向前行递推算法、跨阶次递推算法和Belikov递推算法的适用性进行分析。结果表明,标准向前行递推算法适用范围最小;对于cosθ∈[-1,1],在1 900阶内,标准向前列递推算法、跨阶次递推算法和Belikov递推算法均适用,且第1种算法速度最快;在3 000阶内,跨阶次递推算法和Belikov递推算法适用,且后者更优。

完全规格化缔合勒让德函数及其导数的递推算法与适用范围比较

完全规格化缔合勒让德函数及其导数常用标准向前列递推算法和标准向前行递推算法进行计算。基于第一、第二相对数值精度标准对两种算法的适用范围进行分析比较,计算结果表明,标准向前列递推算法的适用范围大于标准向前行递推算法,说明前者优于后者;结果同时还表明,完全规格化缔合勒让德函数与其导数同一种算法的适用范围也相同,并指出了二者适用范围相同的原因。

完全规格化缔合勒让德函数算法研究

主要研究了完全规格化缔合勒让德函数的算法和程序设计,并对3种算法做了分析和比较,浅谈了递归函数的使用方法。

缔合勒让德函数的列式递推公式

围绕完全规格化缔合勒让德函数(fully normalized associated legendre functions,fnALFs)的计算精度和稳定性问题,以及常用的列式递推公式的适用性问题,基于勒让德函数的原理性公式给出4种类型的列式递推公式。研究表明,Belikov的列式递推公式间接算法的普适性仅约3100阶,而完全规格化后直接算法的普适性约为15000阶。在所有的列式递推公式中,Belikov公式最优。列式递推公式中的系数越小,溢出现象出现得越慢,递推阶次越高,递推公式越优良。

缔合勒让德函数的标准向前按列递推公式

针对推导扇谐项(次等于阶的项)和准扇谐项(次等于阶减1的项)存在不严谨性的问题,给出基于fnALFs的2个导数定积分按列递推公式,结果与已有的研究结论完全一致,但推导过程更简明,且该定积分公式可从第2阶开始递推。另外,本文还给出另外2个fnALFs定积分计算公式。

引潮位展开的不同规格化形式及其转换

在引潮位展开过程中,为使大地系数的数值在不同阶次中保持相对稳定,对其进行规格化处理。从引潮位的基本理论公式出发,在分析缔合勒让德函数及其完全规格化的基础上,给出了引潮位展开中3类不同规格化（Doodson规格化、Cartwright＆Tayler规格化、Hartmann＆Wenzel规格化）公式的具体形式,得到3者之间的转换关系与转换系数。同时给出Doodson规格化中2~6阶规格化因子的具体数值,指出并改正Doodson、Roosbeek文献和IERS 2003、2010规范中的3处错误。

不同规格化的引潮位展开及其转换

引入完全规格化的缔合勒让德函数,阐述国际上两类不同规格化的引潮位展开,使引潮位函数表达更加简明,大地系数定义更加规范.由此得到由Doodson规格化与Hartmann&Wenzel规格化之间的转换系数.

完全正常化缔合勒让德函数及其导数与积分的递推关系

在地球重力场问题中,常用到完全正常化缔合勒让德函数及其导数、积分的递推关系。当前流行的地球扰动位模型均采用完全正常化的缔合勒让德函数,用此类模型可以高效方便计算各种扰动重力场元。随着本世纪多个新一代卫星重力探测计划成功实施,高阶或超高阶地球重力场模型的研究备受学界的关注。有关完全正常化缔合勒让德函数的递推关系对于高阶重力场模型具有特别意义。本文在前人研究的基础上,用初等微积分导出了若干新的递推关系式。同时还推导了正常化缔合勒让德函数及其导数、积分的检核式,这些检核式涉及地球位的球谐级数的数学性质。

缔合勒让德函数的跨阶次递推公式

缔合勒让德函数是地球科学领域中的主要数学工具之一。针对超高阶球谐重力场模型的构建与快速计算,以及跨阶次递推公式的适用性问题,该文利用勒让德函数的原理性公式,给出了3种类型的跨阶次递推公式。当次为0和1时,第1种采用了标准向前按列递推公式,第2和第3种则是采用了列式递推公式。其中,第一种是学界经常采用的公式。研究表明,在要求相对误差为1.0E-11情况下,3种类型的跨阶次递推公式都可以至少递推至15000阶。在两个极点处,第2种和第3种算法的适用性优于第1种算法,但是第1种算法的计算精度优于后两种算法。

缔合勒让德函数的精度评定方法研究

勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程.当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程(或相关的其他偏微分方程)时,问题便会归结为勒让德方程的求解,解的形式是一系列勒让德多项式(函数).完全规格化缔合勒让德函数(fnALFs)的数值计算和精度评定,是地球重力场以及相关领域中的重要研究课题之一.本文利用缔合勒让德函数(ALFs)的三角函数级数展开式,研究了其定积分性质.基于球函数加法定理,给出了fnALFs定积分和fnALFs导数数值的精度评定公式.另外,利用连续函数在特定区间上的平均值概念,给出了计算fnALFs数值的精度评定方法.最后,利用引力场模型,给出了各种精度评定方法中相对误差数值确定的理论依据.

超高阶扰动场元的计算方法

空间重力测量技术的飞速发展为超高阶全球重力场模型的建立提供了条件和更迫切的应用需求 .本文从完全规格化缔合勒让德函数及其一、二阶导数的标准前向列递推公式出发 ,研究了超高阶扰动场元球谐展开式中完全规格化缔合勒让德函数及其一、二阶导数的数值特征 ,改进了上述标准前向列递推关系式 ,提出了在微机上计算超高阶扰动场元的实用方法 。

精密引潮力的计算及其影响因素分析

天球参考系转换、勒让德函数计算是精密引潮力计算的两个核心工作.为了确保计算结果的准确性,采用两种彼此相互独立的算法公式进行检核计算.对于天球参考系转换,分别采用基于春分点的岁差章动转换和基于CIO的无旋转原点转换两种方法,转换参数分别采用IERS 2003、2010规范推荐的4组参数模型;对于勒让德函数计算,分别采用勒让德函数的递推算法、完全规格化缔合勒让德函数的递推算法两种数学模型;计算结果验证了引潮力计算过程与数据成果的准确性.以德国BFO测站为例,计算得到1962年1月1日至2015年8月1日54年内,时间间隔为1小时的精密引潮力时间序列,统计结果表明引潮力的量值在149459.841×10^(^(-11))ms^(-2)(10^(^(-11))ms^(-2)=1 nGal)以内.同时对精密引潮力计算中的各类影响因素进行计算与分析,计算结果表明:岁差章动模型更新、以及两种天球参考系转换方法之间的差异对引潮力的影响可完全忽略不计;地球扁率、极移、参考框架偏差、历表更新对引潮力影响的量值分别在1.891×10^(^(-11))ms^(-2)、0.586×10^(^(-11))ms^(-2)、0.032×10^(-11)ms^(-2)、0.012×10^(-11)ms^(-2)以内,这些因素在高精度引潮力计算中不能忽略;而地球时与世界时转换、径向法向转换对引潮力的影响分别达到916×10^(-11)ms^(-2)、476×10^(-11)ms^(-2),忽略这两个因素将会导致计算结果错误.

基于Clenshaw技术计算大地水准面差距的快速算法

随着超高阶重力场位模型的建立与精化,其计算效率也逐渐凸显起来.本文比较了Clenshaw算法和标准向前列递推算法的适用性,并分析了Clenshaw求和计算全球大地水准面差距的适用范围.在Clenshaw求和技术基础上,进行如下算法改进:将球谐函数级数和的形式以矩阵形式替代,算法运算过程中以向量化计算代替循环计算.在计算前360阶、420阶、480阶、……、直至前1500阶的大地水准面差距时,改进后的Clenshaw算法要比改进前算法的运算耗时减少了三分之一左右,也就是运算效率至少提升了33%.