对偶均值积分的Marcus-Lopes不等式

Milman曾提出过一个问题;在混合体积理论,是否存在Marcus-Lopes型和Bergstrom型不等式?即对R^n上任意凸体K与L且i=0,…,n-1,是否成立(W_i(K+L))/(W_i+1(K+L))≥(W_i(K))/(W_i+1(K))+(W_i(L))/(W_i+1(L))?这里W_i表示凸体的i次均值积分.当且仅当i=n-1或i=n-2时,这个问题是正确的,已被证明.作者考虑了一个对偶问题,证明了:若K与L是R^n上的星体,n-2≤i≤n-1且i∈R,则(W_i(K+L))/(W_i+1(K+L))≤(W_i(K))/(W_i+1(K))+(W_i(L))/(W_i+1(L))/(W_i+1(L))其中W_i表示星体的i次对偶均值积分.

L_p-对偶均值积分和

首先引进了"L_p-对偶均值积分和"的新概念.进一步建立了L_p-对偶均值积分和函数的极投影Minkowski不等式和极投影Aleksandrov-Fenchel不等式.解决了"均值积分差函数"所不能解决的逆问题.另外,利用Lutwak建立的i阶宽度积分理论,创建了极投影体的L_p-Brunn-Minkowski不等式.作为应用,证明了一些相关的结果.

关于i-弦对称体的不等式

建立了i-弦对称体的对偶Brunn-Minkowski不等式。并进而建立关于i-弦对称的相交体的均值积分型对偶Brunn-Minkowski不等式。

拟L_p-混合相交体

1988年,Lutwak首次提出了相交体的概念.本文在相交体以及拟L_p-相交体的基础上,引入了拟L_p-混合相交体的概念.通过利用对偶L_p-混合均值积分理论和相关的不等式,给出了L_p型的Busemann相交不等式,建立了关于L_p径向组合和L_p-调和Blaschke组合的Brunn-Minkowski型不等式及其隔离形式,并且探讨了拟L_p-混合相交体的单调性问题.