奇围长为5的本原对称有向图的局部指数集

设D是一个本原有向图且u∈V(D) ,D在u点的指数 ,记作expD(u) ,定义为这样的一个最小正整数k ,它使得对任意v∈V(D) ,D中均有u到v的长为k的有向通道 .设V(D) ={ 1,2 ,… ,n}使得expD(1)≤expD(2 )≤…≤expD(n) .本文研究了奇围长为 5的n阶本原对称有向图 。

对称有向图的广义本原指数集

一个有向图Ｄ称为本原有向图，若存在其自然数ｋ，使Ｄ中任一点ｕ到任一点ｖ都有长为ｋ之途径．若Ｄ是一个对称有向图，则Ｄ是本原的当且仅当Ｄ对应的无向图Ｇ连通且至少包含一个奇圈．本文研究最小奇圈长为ｒ的ｎ阶对称本原有向图，完全刻划了第一类广义本原指数集，并部分地解决了第三类广义本原指数集的刻划问题．

上本原对称有向图上广义指数的极图

设D是n阶有向图(允许有环但不允许有重复弧),X(?)V(D),集指数exp_D(X)是这样的最小正整数p,使得对D中每个点v,存在从X的至少一个点到v的长为p的途径.若这样的正整数p不存在,则定义exp_D(X)=∞.D的第k重上广义指数F(D,k): =max{exp_D(X)|X(?)V(D),|X|=k},1≤k≤n.如果F(D,k)<∞,则称D是k-上本原的.本文完全刻划了k-上本原对称有向图的第k重上广义指数的极图.

一类迹非零对称本原有向图的scrambling指数

利用本原有向图的scrambling指数和广义scrambling指数的定义,从图论的角度刻画了一类迹非零的对称本原有向图的scrambling指数及其广义的scrambling指数的界.

对称的完全二部有向图的(P|→)_(2k)-因子分解

给出了对称的完全二部有向图K*m,n存在(P|→)2k-因子分解的充分必要条件为m=n≡0(mod k (2k-1))。

对称的完全二部有向图的T_(1,K)-因子分解

Km,n*表示对称的完全二部有向图,T1,k表示有向树。Km,n*的T1,k-因子是它一个生成子图F,其中F的每个分支都同构于T1,k。如果Km,n*的有向弧集可以划分为Km,n*的T1,k-因子的和,则称Km,n*存在T1,k-因子分解。文章讨论了当m=n时,Kn,n*的T1,k-因子分解存在性问题,运用构造法证明了对称的完全二部有向图K*n,n存在T1,k-因子分解的充分必要条件:n≡0(mod(k+1)(k+2))。

奇围长为r的中心对称本原有向图的指数集

R^(n,r)表示全体奇围长为r的n阶中心对称本原有向图。本文给出了R^(n,r)中全体奇围长为r的中心对称本原有向图的指数集。

有向图的顶点加权zeta函数

给定一个有向图,每个顶点赋予一个权重。对于这个有向图定义了它的顶点加权zeta函数,函数的权重是由上面给定的顶点的权重诱导的有向图的圈的权重。并利用Amitsur恒等式和线性代数的相关知识给出了有向图的顶点加权zeta函数的两个行列式表达式。当有向图是对称有向图时,已有的结果是本文结果的自然推论。最后给出了一个例子并计算出此时顶点加权zeta函数的具体形式。

几类本原有向图Scrambling指数极图的广义Competition指数

设D为n阶本原有向图,对于D中的每一对顶点x,y,存在正整数m,1≤m≤n,在D中总能找到m个不同的顶点v1,v2,…,vm,使得x和y到vi(1≤i≤m)都存在k长的途径,上述k中的最小者称为D的广义Competition指数(m-Competition指数).广义Competition指数是本原指数和Scrambling指数的推广.采用图论与组合矩阵论的方法,对几类本原有向图Scrambling指数极图的广义Competition指数进行研究,给出了这几类极图的广义Competition指数.

迹为d的中心对称本原矩阵的指数集

设S（n，d）表示由全体迹为d的n阶中心对称本原矩阵所构成的集合，本文给出了S（n，d）中全体矩阵的指数集。

一类本原无向图的广义上指数的极图

设Ｒ（ｎ，ｄ）表示由全体恰含ｄ个环点的ｎ（ｎ≥３）阶本原无向图所构成的集合，Ｆ（ｎ，ｄ，ｋ）为 Ｒ（ｎ，ｄ）中图的第 ｋ重上广义本原指数的最大值，１≤ｄ≤ｎ，２≤ｋ≤ｎ－１．本文给出了第 ｋ重上广义本原指数达到 Ｆ（ｎ，ｄ，ｋ）的极图的完全刻画．

一类特殊的本原不可幂对称带号有向图的基指数的上界

一个本原不可幂带号有向图s的基指数l(s)是这样的最小正整数l,使得在s中,从任意一点u到任意一点v都有一对长为l的sssD途径.本文研究了n阶最小奇圈长为r的本原不可幂对称带号有向图的基指数,给出了这类有向图的基指数的最大值.

K_(m,n)~*的(?)_(2k)——因子分解

给出了完全二部对称有向图K*m,n存在P(→)2k-因子分解的充分必要条件为m=n≡0(mod k(2k-1)).

对称本原有向图广义重上指数的极图刻划

一个有向图Ｄ称为本原有向图，若存在某自然数ｋ，使Ｄ中任一点ｕ到任 一点ｖ都有长为ｋ之途径．若Ｄ是一个对称有向图，则Ｄ是本原的当且仅当Ｄ对 应的无向图连通且至少包含一个奇圈。文［２］给出了具有最小奇圈长ｒ的ｎ阶对称本 原有向图广义ｋ重上指数的最大数．本文将在此基础上，给出其极图的完全刻划．

对称本原有向图的重上广义本原指数

一个有向图D称为本原有向图，若存在某自然数κ，使D中任一点u到任一点υ都有长为κ之途径．若D是一个对称有向图，则D是本原的当且仅当D对应的无向图G连通且至少包含一个奇圈．本文中，我们将决定具有最小奇圈长r的n阶对称本原有向图的第κ重上广义本原指数的最大数．

覆盖数C（m＋5,m）的确定

完全有向对称图ＤＫ的覆盖数Ｃ（ｖ，ｍ）是指能覆盖ＤＫｖ的ｍ长圈的最小圈数。本文给出了Ｃ（ｍ＋５，ｍ）的值，从而将偶长圈覆盖问题压缩到ｍ＋６≤ｖ≤２ｍ－４。

一类极小本原对称图的指数集

运用有向图方法完全确定出顶点带环的n阶极小本原对称有向图的本原指数集,所得的结论是:1)顶点全部自带环的n阶极小本原对称有向图所成的子图类之本原指数集E1={2,3,…,n-1};2)顶点不全带环的n阶极小本原对称有向图所成的子图类之本原指数集E2={2,3,…,2n-2}\S,其中S是{n,n+1,…,2n-2}中的所有奇数之集;3)顶点带环的n阶极小本原对称有向图所成的特殊图类之本原指数集En=E1∪E2={2,3,…,2n-2}\S.