广义稠密对称特征问题标准化算法在GPU集群上的有效实现

广义稠密对称特征问题的求解是许多应用科学和工程的主要任务,并且是计算电磁学、电子结构、有限元模型和量子化学等计算中的重要部分。将广义对称特征问题转化为标准对称特征问题是求解广义稠密对称特征问题的关键计算步骤。针对GPU集群,文中给出了广义稠密对称特征问题标准化块算法在GPU集群上基于MPI+CUDA的实现。为了适应GPU集群的架构,广义对称特征问题标准化算法将正定矩阵的Cholesky分解与传统的广义特征问题标准化块算法相结合,降低了标准化算法中不必要的通信开销,并且增强了算法的并行性。在基于MPI+CUDA的标准化算法中,GPU与CPU之间的数据传输操作被用来掩盖GPU内的数据拷贝操作,这消除了拷贝所花费的时间,进而提高了程序的性能。同时,文中还给出了矩阵在二维通信网格中行通信域和列通信域之间完全并行的点对点的转置算法和基于MPI+CUDA的具有多个右端项的三角矩阵方程BX=A求解的并行块算法。在中科院计算机网络信息中心的超级计算机系统“元”上,每个计算节点配置2块Nvidia Tesla K20 GPGPU卡及2颗Intel E5-2680 V2处理器,使用多达32个GPU对不同规模矩阵的基于MPI+CUDA的广义对称特征问题标准化算法进行测试,取得了较好的加速效果与性能,并且具有良好的可扩展性。当使用32个GPU对50000×50000阶的矩阵进行测试时,峰值性能达到了约9.21 Tflops。

基于分治法求解对称三对角矩阵特征问题的MPI/Cilk混合并行算法

对称稠密矩阵特征问题的求解通常转化为三对角矩阵特征问题的求解,基于对称三对角矩阵特征求解的分而治之方法,提出了一种基于消息传递接口(message passing interface,MPI)+Cilk多任务并行模型的混合求解算法,采用进程间数据并行和进程内多线程任务并行的方法,实现了对分而治之算法中分治阶段和合并阶段的多任务划分和动态调度。进程内利用Cilk任务执行的有向无环图模型,解决了线程级并行的数据依赖和饥饿等待等问题,提高了程序的并行性;进程间通过粗粒度计算任务的划分,优化了MPI部分的数据通信流程和负载均衡问题。数值实验表明,混合并行算法在计算性能和可扩展性方面都要优于纯MPI并行算法。

非对称广义特征值问题重特征值的灵敏度分析

以标准特征值问题灵敏度分析的有关结论为基础,证明了单参数非对称广义特征值问题半单重特征值的可微性,给出了特征值导数的表达式和特征向量的级数展开式.以所得结论为基础,定义了广义特征值问题半单重特征值的灵敏度,给出了确定矩阵对中敏感元素的方法.

基于分治法求解对称三对角矩阵特征问题的混合并行实现

基于对称三对角矩阵特征求解的分而治之方法,提出了一种改进的使用MPI/Cilk模型求解的混合并行实现,结合节点间数据并行和节点内多任务并行,实现了对分治算法中分治阶段和合并阶段的多任务划分和动态调度.节点内利用Cilk任务并行模型解决了线程级并行的数据依赖和饥饿等待等问题,提高了并行性;节点间通过改进合并过程中的通信流程,使组内进程间只进行互补的数据交换,降低了通信开销.数值实验体现了该混合并行算法在计算效率和扩展性方面的优势.

对称双随机矩阵逆特征值问题

研究一种特殊的非负矩阵(对称随机矩阵)逆特征值问题,即对给定的实n-重Λ={λ1,…,λn},求在什么条件下存在的以Λ的谱的对称随机矩阵问题.

低阶对称双随机矩阵逆特征值问题的通解

对给定的实或复n-重Λ={λ1,…,λn},决定是否存在以Λ为谱的非负(随机)矩阵的问题称为非负(随机)矩阵逆特征值问题,这一直是非负矩阵理论中尚未完全解决的一个研究热点.作者曾对n∈{2,3,4,5},研究n阶双随机矩阵逆特征值问题有解的充分条件并给出相应解的公式.最近,又对任意正整数n,先给出行和为常数的对称矩阵的逆特征值问题的充要条件和解的公式,后给出对称随机矩阵逆特征值问题有解的两种充分条件和解的公式.论文在提出任意阶对称随机矩阵逆特征值问题通解的概念和3阶对称随机矩阵逆特征值问题完全通解的概念之后,首先给出3阶对称随机矩阵逆特征值问题存在完全通解的充要条件和完全通解的公式;其次给出3阶对称随机矩阵逆特征值问题存在通解的充要条件和通解的公式;最后给出4阶对称随机矩阵逆特征值问题有解的几种充分条件和相应解的公式.

交替投影法求解对称随机逆特征值问题

本文主要研究对称随机矩阵的逆特征值问题。通过将该问题转化为求两个集合交点的可行性问题,提出用交替投影法进行求解。因为其中一个集合不是凸集,关于凸可行性问题的收敛性结果不能用来分析算法的收敛性。对于算法的收敛性,本文在已有关于两个黎曼流形的交替投影算法收敛性的研究结果上,建立了交替投影算法在一定条件下的线性收敛性。最后数值例子也表明了算法的有效性。

求解对称非负逆特征值问题的一阶黎曼算法

基于对称非负逆特征值问题的黎曼优化模型,提出了求解该问题的黎曼梯度下降算法和黎曼共轭梯度算法,并分析了这两种算法的收敛性。通过数值实验,比较了两种算法的收敛效率。数值结果表明,求解高阶的非负逆特征值问题时,黎曼共轭梯度算法的收敛效率要高于黎曼梯度下降算法。

精化块共轭梯度法求解对称特征值问题(英文)

局部优化块共轭梯度法(LOBPCG)可以用较少的迭代数来计算多个特征值,然而特征向量的精度并不令人满意.为提高特征向量的计算精度,同时保留LOBPCG方法计算特征值的优势,通过采用迭代精化的技巧提出了一种新的子空间迭代法.最后,从数值实验上对比验证了新方法较LOBPCG方法的提高.