基于命题角度谈一道导数题的命制过程

笔者有幸参与了2022年宿州十三校高二下学期试卷的命制,感触颇深,现结合导数压轴题的命制过程与同仁分享.

导数应用中“关键点”的寻找技巧

在应用导数法解决函数相关问题时,常常需要判断导数值或函数值的正、负情况,特别是处理一些含有指数、对数、三角函数等问题时,往往需要借助某些特殊点.这些特殊点的选取具有一定的技巧,下面总结几种取点的方法,供读者参考.

深究细研、条分缕析——备考导数解答题

对导数应用的考查一直是高考热点。《新课标》关于导数的描述是:(1)通过导数的概念,理解二阶导数的概念,掌握一些基本初等函数的一阶导数与二阶导数。(2)理解拉格朗日中值定理,了解它的几何解释。(3)能利用导数讨论函数的单调性,并证明某些不等式(例如,当x>0时,sin x<x;ln(x+1)<x)。

思政背景下方向导数的教学实践

方向导数是多元函数微分学中非常重要却又极其抽象的概念,通过联系实际背景,对登山问题中坡度的数学描述进行分析,借助几何直观,抽象、归纳出方向导数的概念;借助几何意义与定量分析,详细辨析了方向导数与偏导数的关系;借助方向导数求解登山问题中具体路径的选取问题;通过数学思维渗透、数学方法传递、中国精神感染,实现课程思政的有机融入.

基于同频弯扭耦合强迫振动的桥梁断面颤振导数识别方法改进

为拓展强迫振动法在桥梁断面颤振导数识别领域中的应用能力,采取让断面做2次同频异相的弯扭耦合简谐运动模式,理论推导出任意非零相位差条件下的桥梁断面颤振导数识别公式。以理想平板的Theodorsen解为气动力数据源,对该方法的识别能力进行数值验证,并在此基础上研究弯扭耦合运动相位差、高斯白噪声、整数倍频有色噪声对平板颤振导数识别结果的影响规律。基于Fluent软件,将该方法与计算流体动力学(Computational Fluid Dynamics,CFD)技术结合,识别得到丹麦大带东桥主梁断面的颤振导数。研究结果表明:当平板气动力不包含噪声时,在任意非零相位差取值条件下,按照该方法识别所得颤振导数结果与理论值完全吻合;当平板气动力含有高斯白噪声时,在考察的3个低水平噪声条件下(5%、10%、15%),颤振导数识别误差与高斯白噪声比例水平、折算风速均成正相关,但不同颤振导数对高斯白噪声敏感程度各异;当平板气动力包含整数倍频有色噪声时,3倍频、4倍频噪声对颤振导数的识别精度影响显著,其他低倍频噪声和超高倍频噪声的影响较小,在8个颤振导数的识别结果中,H_(2)^(*)、H_(4)^(*)、A_(2)^(*)、A_(4)^(*)对倍频有色噪声更敏感。应用该方法结合CFD数值模拟识别得到的大带东桥主梁颤振导数与既有文献结果吻合良好,经计算得到的颤振临界风速也较为接近。研究结果可满足同类桥梁颤振设计的工程计算需求。

不同分数导数下Maxwell杂化纳米流体流动和传热变化的灵敏度分析

研究多孔介质中垂直拉伸板引起的分数阶Maxwell杂化纳米流体流动与传热现象,并考虑二阶滑移边界条件.利用分数阶剪应力和分数阶Fourier定律构建边界层控制方程.然后采用有限差分结合L1算法进行数值求解,并详细讨论分数导数参数增大时,各物理参数对该流体流动与传热影响的灵敏度变化.结果表明,Darcy数和滑移参数对平均表面摩擦系数的影响,以及滑移参数对平均Nusselt数的影响,对速度分数导数比对温度分数导数更敏感.Darcy数对平均Nusselt数的影响只对温度分数导数敏感,与速度分数导数几乎无关.此外,一阶滑移参数比二阶滑移参数对流动和传热的影响更大.

基于HGWOP的自由振动响应下桥梁断面颤振导数识别

基于节段模型弯扭耦合自由振动风洞试验,在现有的最小二乘原理的基础上引入了一种新的基于粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)和灰狼算法(Grey Wolf Optimizer,GWO)的混合算法(hybrid GWO with PSO,HGWOP)以搜索相关参数,从而更加准确地识别桥梁断面的颤振导数。通过对理想平板和某大桥在三种加权矩阵下基于传统迭代法和HGWOP的颤振导数识别结果进行对比分析,发现HGWOP不仅能够避免初值敏感性问题,在某一阶模态信号衰减迅速时进行准确地参数搜索,还能在相对复杂的加权矩阵下进行更加稳定和准确地识别。该文提出了一种新的颤振导数识别方法,并为更加科学且复杂的加权矩阵的应用提供了可能。

集值映射的Michel-Penot方向导数与Michel-Penot次微分

采用标量化方法,研究集值映射的方向导数和次微分.借助Gerstewizt函数,给出了集值映射的Michel-Penot方向导数和Michel-Penot次微分的概念,研究了它们的性质,建立了它们的计算法则,并利用Michel-Penot次微分给出了无约束集值优化问题的优化条件.

基于飞行实测载荷的副翼操纵导数识别

某型飞机横向操纵时副翼和扰流板会耦合偏转实现飞机的滚转运动,现有气动力参数辨识方法无法单独识别出副翼和扰流板的操纵导数。基于飞机控制律设计逻辑和滚转运动时结构的受载特点,提出一种基于飞行实测载荷的副翼操纵导数识别方法。通过实测机动飞行中机翼各测载剖面的结构载荷并结合剖面外结构质量与加速度分布,提出了机动飞行中机翼气动载荷的测量方法;结合飞机横向操纵瞬时滚转力矩平衡方程和操纵面偏转逻辑,推导了滚转改出时副翼操纵导数识别过程,提出了基于机翼实测载荷的副翼操纵导数识别方法;基于前述方法开展了副翼操纵导数识别,并分析了不同马赫数对副翼操纵导数的影响。研究表明,基于飞行实测载荷能够进行副翼操纵导数识别,而且同一马赫数下副翼操纵导数识别结果集中度较好,随着马赫数的增加,副翼操纵效能将会降低。飞行载荷实测结果可用于气动参数辨识工作中。

基于导数张量的多元函数极值点判定

针对多元函数极值点判定问题,定义了多元函数的导数张量,给出了张量形式的多元函数带皮亚诺余项的泰勒公式,提出了基于张量的最大和最小Z特征值对多元函数极值点进行判定的方法.

解二元导数问题的一把利剑——比值换元

在近几年的高考或模拟试卷中,二元变量问题常作为压轴的导数题出现。求解此类问题,多是通过类比、联想、抽象、概括等手段,构建出适当的函数,化二元问题为一元问题,并在此基础上利用函数的性质使原问题获解。解题的关键是如何将二元问题化为一元问题,其中先构造比值再换元是最常见的方法之一,下面举例说明。

一道导数联考题的解法探析

导数及其应用是高中数学的核心知识,是历年高考数学命题的“风向标”.福建省名校联盟优质校2024年2月高三大联考数学第19题是在“新结构”模式下命制的是一道“漂亮”的导数试题.本文对该试题的解法进行探析.

区域的Schwarz导数和对数导数单叶性内径

利用Ahlfors所得关于解析函数单叶性与拟共形延拓的一般性公式,研究了单叶性内径问题。在角域和一般拟圆上得到Schwarz导数单叶性内径的几个下界估计公式。同时,在单位圆、上半平面、角域以及拟圆上,推广了对数导数单叶性内径的下界公式。

不平行方向导数下的二元函数全微分

通过利用线性代数中自变量空间的基变换方法,推演出二元函数全微分的两个方向不平行的方向导数的线性组合表示,然后在自变量空间的一般可逆变换下推演出全微分的这种表示,推广了二元函数全微分的表示形式,并解释了其几何意义.

多元复合函数求偏导数的方法

针对多元复合函数求偏导数问题,总结了代入法、链式法则和全微分求解三种方法,并通过具体的例子进行了说明.通过对三种方法进行比较,分析和总结了每种方法的优点和缺点并给出了每种题型应采用的方法建议。这不仅对教师的教学具有积极的指导意义,而且还有助于提高学生的学习效果和数学素养,促进学生科学态度的养成和思维能力的提升.

经典导数的拓展——时间尺度上求导

在微积分的教学中,学生对微积分的认识不应该止于经典积分的思想与内容。教师可为学生介绍时间尺度微积分的概念,拓展教学内容。首先介绍时间尺度的背景,然后给出时间尺度上常用的基本符号及时间尺度上函数可微的定义,更有利于学生理解相关概念,激发继续探索微积分的兴趣。

两种“导数概念”教学方式的辨析:为何不同与何以改进——基于大一新生“导数概念”学习的调查

通过对某师范大学三个班的大一新生“导数概念”学习现状的调查,获知了大一新生导数概念学习的基本情况.基于调查研究结果,结合导数概念发展史以及目前的教学状况对高中、大学两种“导数概念”教学方式进行了辨析,认为高中、大学两种导数概念教学方式各有可取与需要改进之处.在此基础上提出了优化高中和大学“导数”概念及其相关知识教学的四条教学建议.

关于Lavie导数的一点注记

阐述了Aharonov不变量、Lavie导数以及Schwarzian导数三者之间的联系,进一步,利用Aharonov不变量给出一个共形映射关于Aharonov不变量的显式表达式,且说明了Lavie导数是属于Banach空间的一个闭子空间。

Tp空间中小预对数导数模型

在研究万有Teichmüller空间过程中,通过Schwarzian导数,能够得到前Schwarzian导数(或对数导数),从而定义小预对数导数模型,本文主要是在p次可积Teichmüller空间中得到小预对数导数模型中的一个连通分量T^P,b0。

广义导数及其在极值问题中的应用

首先,将经典的导数概念推广到广义导数,通过研究广义导数的性质并结合等价无穷小的相关结论给出广义导数的简便计算方法;其次,引入导数指标的概念,并证明它是同阶无穷小等价关系的完全不变量;最后,将广义导数与导数指标应用到函数极值问题中,并给出极值的一个充分必要条件.