函数视角下高考数学中比较大小问题的解法探究

比较大小问题是近年高考数学命题中的热点问题之一,对学生分析问题与解决问题的能力要求较高,同时它还是高中数学教学的一大难点。文章从函数视角探究高考数学中比较大小问题的解法,为高三数学备考复习提供参考。

指数、对数和幂的比较大小问题

指数、对数和幂的代数式的比较大小问题,是高考中的常考点,高考主要以选择题的形式出现,考查指数、对数、幂的基本运算,以及相关的基本初等函数的图像与性质的应用。

非线性极大极小问题的混沌万有引力搜索算法求解

针对非线性极大极小问题目标函数不可微的特点,提出了一种混沌万有引力搜索算法的求解方法。该算法采用基于万有引力定律的优化机制引导群体进行全局探索,并基于混沌运动的随机性、遍历性和规律性特点,利用混沌优化对当前最优位置进行精细搜索,有效抑制算法早熟收敛现象,提高优化性能。数值实验结果表明,该算法具有计算精度高、数值稳定性好等特点。

解序列极大极小问题的凝聚同伦方法

研究序列极大极小问题.得到了一阶必要条件的具体表达式,即所谓广义K-K-T方程.利用多次凝聚技巧和同伦方法,构造地证明了K-K-T方程解的存在性,同时在一定的条件下,还证明了对几乎所有的初值,同伦路径以广义K-K-T方程解为极限点.

一类非线性极大极小问题的极大熵社会认知算法

针对一类非线性极大极小问题目标函数非光滑的特点给求解带来的困难,利用社会认知算法并结合极大熵函数法给出了此类问题的一种新的有效算法。首先利用极大熵函数将原问题转化为一个光滑无约束优化问题,然后利用社会认知算法对其进行求解。该算法是基于社会认知理论,通过一系列的学习代理来模拟人类的社会性以及智能性从而完成对目标的优化。数值结果表明,该算法收敛快,数值稳定性好,是求解非线性极大极小问题的一种有效算法。

极大极小问题极大熵方法的研究(I)

首先研究了极大熵函数的保凸性质；在没有可微假设的条件下，证明了极大熵函数既能保持成员函数的凸性，也能保持一致凸性．在此基础上对具有凸性的极大极小问题的极大熵方法的收敛性进行了较详细的研究，有关结果在一定程度上揭示了该方法解这类问题一般都能得到精度很高的解的原因．

非凸函数极小问题的BFGS算法

本文对于非凸函数的无约束优化问题,给出一类修正的BFGS算法。算法的思想是对非凸函数的近似Hesse矩阵进行修正,得到下降方向,并且保证拟牛顿条件成立,当步长采用线性搜索一般模型时,证明了该算法的局部收敛性。

一般约束极大极小问题的广义梯度投影算法

讨论了一类带等式、不等式约束的极大极小值问题，将其转化为带等式、不等式约束的非线性规划问题，利用辅助规划进行处理，给出了一个广义的梯度投影算法，解决了一般约束极大极小值问题。算法可在有限步达到最优点或产生一系列点列，其极限点则是最优点，并证明了该算法的全局收敛性。

半无限极大极小问题的全局收敛方法

利用广义伪方向导数，在较弱的条件下，给出了半无限极大极小问题（P）的全局收敛性理论算法模型；利用离散策略给出了问题（P）全局收敛的可实现算法．数值结果表明本文给出的可实现算法是有效的．

极大极小问题的光滑化信赖域共轭梯度法

目的求解无约束有限极大极小问题。方法利用光滑函数将极大极小问题转化为可微的无约束优化问题。结果给出了信赖域牛顿共轭梯度法解该优化问题的算法。结论该算法是可行的、有效的,尤其是对于大规模问题,该算法与其他方法相比具有明显的优势。

基于积极集技术求解无约束极大极小问题的摄动SQP方法

讨论无约束极大极小(minimax)问题,基于积极集识别技术,结合摄动的序列二次规划(SQP)方法,建立问题的一个数值方法.在相当弱的条件下,算法具有弱全局收敛性,并对算法进行了初步的数值试验.

极大极小问题极大熵方法的研究(Ⅱ)

对成员函数是可微的和Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ型的极大极小问题，研究了极大熵方法得到的近似问题和原问题满足最优性一阶必要条件的解之间的关系；举出反例说明，在特殊情况下，近似问题的局部解未必收敛到原问题的局部解；原问题有解，近似问题未必有解．

极大极小问题极大熵方法的收敛性

本文给出了极大极小问题的一种概念性的极大熵方法,并在较弱的条件下,证明了这种方法的收敛性.

有限极大极小问题的拟牛顿法

给出了解极大极小问题的一种拟牛顿法,在不假设在Danskin点处满足严格互补条件的情况下证明了算法具有超线性收敛速度及全局收敛的性质.

非线性极大极小问题的一个有效算法

针对一类非线性约束极大极小问题，利用极大熵方法将其转化为带等式、不等式约束的非线性规划问题，给出了一种梯度投影算法，解决了一般约束的非线性大系统优化问题，该算法初始点可任意；同时证明了该算法的全局收敛性。初步的数值试验表明，对于该类极大极小问题，算法有良好的数值表现。

约束极大极小问题的一类有效算法

本文对约束极大极小问题探讨了利用极大熵方法并结合约束变尺度法和惩罚函数法给出二种新算法,算法给出了显式的搜索方法,数值实便例验了算法的有效法.

解无约束极大极小问题的非对称神经网络算法

本文构造了一种新的非对称神经网络模型，用于求解极大极小无约束优化问题。并证明了非对称线性神经网络和非线性神经网络是整体Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定的，且收敛于对应的Ｌａｇｒａｎｇｅ方程的稳定点．计算机模拟的结果表明此方法是可行的，且具有良好的整体收敛性．

解非线性极大极小问题的凝聚函数法

本文提出求解非线性极大极小问题的一种新的有效方法,称为凝聚函数法。通过利用最大熵原理构造复合的拉格朗日对偶问题,可以导出一个用于求解极大极小问题的凝聚函数。可以证明,该函数具有Lp模的一些类似性质,并且当所含参数趋于无穷大时,精确逼近最大值函数。文中提出一个利用这个凝聚函数作为目标函数的无约束优化算法。几个算例表明,该方法具有收敛稳定、算法简单及计算效率高等优点。

一种改进的求解极大极小问题的非单调滤子法

本文提出一种求解极小极大问题的非单调信赖域滤子法.该算法基于滤子技术,放松了试验点的可接受准则,与已有的求解极大极小问题的序列二次规划牛顿法(SQP)相比,我们的方法具有更大的灵活性.在适当的条件下,建立了全局收敛性.最后进行了数值实验.

两类极大极小问题及应用

研究两类极大极小问题,从理论上给出了最优解,并分别给出了这两类极大极小问题在线性方程组Richardson迭代法和HSS迭代法中的应用.