差分Painlevé方程亚纯解的增长级

利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论的差分模拟,研究了给定的差分PainlevéⅠ、Ⅱ方程的超越亚纯解f(z)的增长性,并得到其亚纯解的增长级的精确估计:在给定条件下,其亚纯解f(z)的增长级满足σ(f)≥1.

差分Painlevé方程组解的存在性和增长级

研究差分Painlevé方程组{x(z+1)+x(z)=(a_(1)z+b_(1))y(z)+c_(1)y(z)^(2)/y(z)^(2)-1 y(z)+y(z-1)=(a_(2)z+b_(2))x(z)+c_(2)x(z)^(2)/x(z)^(2)-1的有理函数解的存在性,并给出例子说明我们结果是精确的。进而,我们还研究了此方程组的超越亚纯解的增长级下界的精确估计:在一些条件下,其超越亚纯解(x(z),y(z))的增长级满足ρ(x)=ρ(y)≥1。

q-差分Painlevé方程亚纯解的增长级

利用亚纯函数的Nevanlinna值分布理论的q-差分模拟,研究给定的q-差分Painlevé方程的超越亚纯解f(z)的增长性,并得到其亚纯解的增长级的估计:在给定条件下,其亚纯解f(z)的增长级满足σ(f)≥1。

无穷区间上非线性q-差分方程共振问题的可解性

为了拓展非线性量子差分方程共振边值问题的基本理论,研究了一类无穷区间上非线性量子差分方程共振边值问题。首先,通过构造合适的Banach空间,定义Fredholm算子,计算其核域和值域;其次,定义其他恰当的算子,并运用Mawhin重合度理论,建立该问题解的存在性定理;再次,运用反证法获得该问题解的唯一性结果;最后,给出一个例子说明主要结果的有效性。结果表明,在非线性项满足一定增长的条件下,非线性量子差分方程共振边值问题至少存在一个解。研究结果丰富了量子差分方程的可解性理论,为量子差分方程在数学、物理等领域的应用提供了理论参考。

一类分数阶q-差分方程广义反周期边值问题

考虑一类非线性Caputo型分数阶q-差分方程的广义反周期边值问题,用Banach不动点定理给出该广义反周期边值问题解的存在唯一性结果,并给出一个应用实例.

多项时间分数阶混合扩散-波动方程ADI有限差分法

用交替方向隐式(ADI)有限差分法研究多项时间分数阶混合扩散-波动方程的数值解,在时间方向上,采用降阶的方法,将扩散项和波动项转化为RL积分项和扩散项,分别使用L2-1_(σ)和L1公式逼近;空间方向结合二阶中心差商离散,并通过数值算例验证差分格式的有效性.

Cahn-Hilliard方程的一个超紧致有限差分格式

研究四阶Cahn-Hilliard方程的数值求解方法。给出组合型超紧致差分格式,将其用于四阶Cahn-Hilliard方程的空间导数离散,采用四阶Runge-Kutta格式离散时间导数,将二者结合得到四阶Cahn-Hilliard方程的离散格式,并给出了该格式的误差估计。通过编程计算得到其数值解,并与精确解进行对比,结果表明本文的数值方法误差小,验证了所提方法的有效性和可行性。

一类Painlevé差分方程与亚纯函数的唯一性

假设f是Painlevé差分方程f(z+1)+f(z-1)=P(f/)Q(f)的有穷级非常数亚纯解,其中P(f)=pΣk=0a_(k)f^(k)■0和Q(f)=qΣj=0b_(j)f^(j)■0是关于f的两个多项式,且P(f)与Q(f)互素,它们的系数{a_(k)},{b_(j)}均为f的小函数,且a_(p)■0和b_(q)■0。再设g是一个非常数的亚纯函数,如果f与g CM分担3个判别的有限值c_(1),c_(2)和c_(3),且P(c_(j))/Q(c_(j))=pΣk=0a_(k)(z)c^(k)_(j)/qΣl=0b_(l)(z)c^(l)_(j)■2c_(j),1≤j≤3,那么f=g。本文主要结果涉及Ablowitz-Halburd-Herbst中的相应结果,研究了非常数的亚纯函数与有关Painlevé方程的非常数的有穷级亚纯解CM分担3个公共值的唯一性问题,并研究了有关Painlevé方程的有穷级非常数亚纯解的值分布问题。

带色散的四阶抛物型方程的紧致差分格式

本研究提出一种有效求解带色散四阶抛物型方程的四阶紧致差分格式。对该方程的空间变量用四阶紧致差分格式进行离散,对离散之后得到的常微分方程组用三次Hermite插值法进行求解,得到一种空间和时间方向上都具有四阶精度的数值格式,并用傅里叶方法证明了该格式的无条件稳定性。数值实验中给出三种类型的算例,并将本研究格式与Crank-Nicolson格式进行数值比较,证明了本研究格式的有效性。结果表明,本研究格式对求解带色散的四阶抛物型方程具有很好的实用性。

二维波动方程的高阶精度紧致显式差分格式及稳定性分析

针对具有初边值问题的二维波动方程,提出了一种数值求解该方程的高阶紧致显式有限差分格式。首先,根据相关文献对导数的离散近似,得到周期边界条件下的六阶紧致差分格式。其次,在空间方向上,边界节点导数项利用原方程代入的方法进行计算,而内部节点的导数项利用六阶紧致差分公式近似,使空间精度达到六阶。同时,在时间方向上,利用泰勒级数展开公式、原方程代入以及中心差分公式推导出时间层的二阶精度差分格式,为了将整体上的时间精度由二阶提高至四阶,采用外推算法实现时间层的高阶近似。再次,再利用傅里叶分析法对该格式的稳定性进行分析,得到在此精度下的稳定性条件,即|a|λ∈[0,1/2√7/6]。最后,通过数值实验验证了所提出的HOCE(6,4)格式的高效性和准确性。

声波方程高阶有限差分数值模拟中的平面波透射边界条件

一种简单高效的吸收边界对于提高大规模波动方程数值模拟的计算效率十分关键。基于平面波传播理论的Liao氏透射边界(Liao边界)具有编程简单、耗费内存少且计算效率高的优点,三阶Liao边界对大角度入射波的吸收效果较好,但存在不稳定的问题。为此,从理论上分析了三阶Liao边界的稳定性,并提出一种基于修改插值权重的稳定化策略,避免了三阶Liao边界长时间模拟的不稳定问题,同时并未显著降低其吸收效果。此外,分别针对二阶和一阶声波方程,详细讨论了Liao边界在中心和交错网格高阶有限差分模拟中的实现方法。三维波场数值模拟算例表明,结合混合吸收边界思路的二阶和三阶Liao边界的吸收效果明显优于常规分裂式完美匹配层边界,并且三阶Liao边界的吸收效果接近复频移卷积型完美匹配层边界。在计算效率方面,当采用中心网格有限差分求解二阶声波方程时,使用10层Liao边界所增加的计算量接近10%,远低于常规分裂式完美匹配层边界。将其用于求解一阶声波方程,Liao边界的计算成本也明显低于使用复频移卷积型完美匹配层边界。

运用差分特征列方法精确求解一类非线性有理差分方程

运用差分特征列方法来求解一组有理差分方程,即一类非线性差分方程。首先介绍了差分方程及特征列方法的理论知识,进而运用差分特征列方法对一类非线性差分方程组进行化简,通过有效化、判断一致性、可约分解等步骤,最终根据整序定理和零点分解定理得到这类非线性零点集。

基于有限差分残差物理约束的波动方程无监督学习方法

波动方程是一种重要的物理偏微分方程,近年来深度学习有望加速或替代传统数值方法对其求解.然而现有深度学习方法存在数据集获取成本高、训练效率低、边界条件泛化能力不足的问题,为此本文提出一种基于有限差分残差约束的波动方程无监督学习方法,基于结构网格和有限差分方法构建一种新颖的有限差分残差约束,以及一种无监督训练策略,使得卷积神经网络能够在无数据条件下训练,并预测波的正演过程.实验结果表明,有限差分残差约束相较于PINNs类的物理信息约束具有更容易拟合、计算成本更低、源项泛化能力更强的优点,这使得我们的方法有着更高的训练效率和应用潜力.

求解广义Rosenau-Kawahara方程的一个非线性加权守恒差分格式

对广义Rosenau-Kawahara方程的初边值问题进行数值研究。在二阶精度前提下,在空间层引入两个加权系数,构造了一个带有两个加权系数的两层非线性差分格式。该格式很好地模拟了原问题的一个守恒性质。利用离散泛函分析方法证明了该格式的二阶收敛性与无条件稳定性。数值实验表明,通过适当调整两个加权系数可使计算精度大幅度提高,证明本文提出的加权格式是有效的。

空间分数阶偏微分方程非标准有限差分方法的稳定性和收敛性

本文研究空间分数阶偏微分方程非标准有限差分方法数值解的相关问题.采用Grünwald-Letnikov公式和平移Grünwald-Letnikov公式分别对两个空间分数阶导数进行离散.再运用带有时间和空间步长的分母函数构造非标准有限差分方法.进而利用von Neumann分析方法对差分格式的稳定性和收敛性进行研究,获得了一些新的结果.数值例子验证了非标准有限差分方法用于求解空间分数阶偏微分方程的有效性.

2维薛定谔方程的一种高精度紧致差分格式

该文对2维薛定谔方程利用局部一维化方法,将2维方程分裂为x、y方向的2个1维薛定谔方程,然后采用6阶紧致格式的离散方法来处理空间变量的2阶导数项,将薛定谔方程转化为一个常微分方程组.通过L-稳定Simpson方法对上述空间离散化得到的常微分方程进行离散化,得到了一种具有空间6阶精度和时间3阶精度的格式,并证明了该格式无条件稳定性.并通过数值模拟和对比方法验证了格式的有效性.

紧致有限差分方法求解全离散波动方程

本文针对整数阶波动方程,给出了一种基于紧致有限差分方法的隐式全离散格式。该格式在时间方向采用中心差分格式来离散,在空间方向采用紧致中心差商的权平均来离散。离散格式的稳定性分析及误差估计表明,该离散格式在时间方向达到二阶收敛,空间方向达到四阶收敛。并且通过数值实验证明该离散格式的收敛阶为O(τ2h4)。

Fermat型复微分差分方程的整函数解

文章利用复微分方程理论和复差分方程理论研究了形式为(μf(z)+λf′(z))^(2)+f(z)^(2)=P(z)的复微分方程和形式为(μf(z)+λf′(z))^(2)+f(z+c)^(2)=P(z)的复微分-差分方程的任意整函数解的存在形式。首先,用Weierstrass因式分解定理将两个方程进行分解,计算出f(z)和μf(z)+λf′(z)的具体形式;其次,对因式分解后产生的指数h(z)进行讨论,分为h(z)为常数和h(z)为非常数整函数两种情形;最后,研究每一种情形下整函数解中各个变量之间的关系。文章得到了两个关于Fermat型方程的整函数解的存在形式,在一定范围内推广和改进了前人的结论。

有穷φ级的亚纯函数与线性Jackson q-差分方程

利用Nevanlinna理论和亚纯函数φ级的增长性研究了复平面上线性Jackson q-差分方程解的增长性,得到当方程的系数满足某些条件时,方程解的φ级的增长估计。

一类高阶有理差分方程正平衡解的稳定性

文章研究了一高阶有理差分方程y_(n+1)=A=By_(n-k)/α+βy_(n)+γ_(yn-k)的正平衡解的性态,其中α,β,γ, A,B为正实数,k≥1为正整数,初始值y_(-k),y_(-k+1),…,y_(0)为非负实数,研究获得了该方程唯一正平衡解具有局部稳定性的充要条件以及全局渐近稳定的充分条件。