一道“希望杯”赛题的解法探究

陈省声教授说:“数学好玩”,而我贸然补上一句:“竞赛有味”.这里的“有味”体现在数学竞赛题往往从结构到解法都充满着艺术的魅力,它吸引着人们去进行积极探索,在探索中亲自体验数学思想的智慧光辉,从而进一步产生向往感.解答数学竞赛题,除了灵活运用高中数学教材中的常规解题方法外,常常离不开各种技巧,譬如分类讨论、奇偶分析、重要不等式、递推、构造、不完全数学归纳法等等.因此就要求我们要有较强的创造性和数学机智,并能综合而灵活地运用知识、方法和技巧,才能解决它们.本文通过一道竞赛题的求解让大家体会一下.

数形结合探截面 多元变通启思维——以一道希望杯题目一题多解探究为例

高中数学几何教学中的求截面问题对不少学生而言是难点.本文以一道希望杯题目为例,结合正方体截面的内容,探究出从特殊到一般的求截面方法以提高学生思维的敏捷性、灵活性.同时渗透一题多解的解题策略以培养学生审慎的解题习惯与开阔的数学思维.

一道“希望杯”试题的解答与推广(高一)

每届“希望杯”赛总有不少适合中学生实际,又能锻炼中学生能力,激发中学生研究兴趣的好题.下面即是一例.

一道希望杯试题探源与拓展

希望杯数学竞赛特点之一就是试题紧紧贴近课本,源于课本,又高于课本,试题活而不难,巧而不偏,既大众化又富于思考启发,因此每当我们翻阅和学习历届希望杯赛题时,总会产生一些新的感触.下面就是从一道希望杯赛题,结合新教材内容的一些思考,奉给读者,以共同提高.

一道希望杯2试题的多种解法(初三)

第27届希望杯数学竞赛初三第2试有一道平面几何的综合题，标准答案通过添辅助线作全等三角形得出了等量关系，在计算中应用了余弦定理，算出三角形的边长．这里将向大家介绍解第（2）、（3）小题的另外几种解法．

对一道“希望杯”培训题的多视角思考

解三角形问题是历年高考命题的热点之一,主要有两种题型:一是与三角函数相结合,通过三角恒等变换进行化简求值,然后利用正、余弦定理解题;二是与平面向量相结合,利用平面向量的有关运算判断三角形的形状或结合正、余弦定理求值.一般地,解三角形问题的综合性较强,解法较为多样,应引起我们足够的重视.第27届“希望杯”高二培训题中有一道与解三角形有关的问题,命题者利用余弦定理给出了此题的一种解答,笔者通过多视角研究,得出不同于参考答案的5种方法作为补充,整理如下,供大家参考.

数形结合巧解“希望杯”赛题

数形结合是中学数学的重要思想方法，解竞赛题尤其能起到出奇制胜的作用．

一道“希望杯”竞赛题的研究

题目：已知a,b∈R＋,且ab=2,则b/2＋a2＋a/2=b2的最小值是___ （第二十一届“希望杯”高二第2试） 本文从二个角度对问题进行研究，先对问题作一题多解，然后对问题作多方面变式，供大家参考．

一道“希望杯”培训题的解法探究

题目已知z，y，z∈R^＋，且x＋2y＋3z=1，1/x＋2/y＋3/z的最小值是__．

第25届“希望杯”高二二试第21题解法探究

分析该题求参数的取值范围，此类问题可以通过变量分离，转化成函数的最值问题，而求最值的常用方法有运用一元二次函数、导数、基本不等式、三角函数的有界性、某些特殊函数的性质等．

一道希望杯试题的错解分析与解法探究

题目已知椭圆：x2/4＋y2/3=1上的任意一点P（x，y），可使x＋2y＋m≥0恒成立，则m取值范围是（ ）（A）（-∞，-4]．（B）[-4，＋∞）．（C）（-∞，4]．（D）[4，＋∞）．

“希望杯”中的创新题8则(高一)

1.对于函数f(x)与g(x),规定:当f(x)≤g(x)时,f(x)※g(x)=f(x);当f(x)>g(x)时,f(x)※g(x)=g(x).已知f(x)=3-x,g(x)=(2x+5)(1/2),求f(x)※g(x)的最大值. (第8届97年高一2试) 2.在xoy平面内。

一道“希望杯”试题的解法探究(初一)

题目如图1，在矩形ABCD中，E，F分别在BC，CD上，S△ABE=2，S△ECF=7，S△FDA=8，则△AEF的面积为（ ）（A）15．（B）14．（C）13．（D）12．

一道“希望杯”赛题的解法赏析

下面仅就初二年级同学所学几何知识的范围，探究此题的几种解法，供读者赏析．

加强赛题研究 领悟赛题内涵——赏析经久不衰的“希望杯”竞赛热点:分段函数

分段函数是一类重要的函数，它能有效地考查函数的概念、符号及性质，体现了分类讨论、数形结合等思想方法，对优化学生的思维品质十分有益，是各级各类竞赛的重要内容．在“希望杯”高中数学竞赛走过的十七载春秋中，涌现出了许多优美、新颖、多姿多彩的分段函数题，现将其分类提出与读者共同赏析．

一道希望杯考题的几何背景及解法探究

题目 方程 √x2-2√5x＋9＋√x2＋2√5x＋9=10的解是x=____.

评析一道希望杯赛题

题目O是椭圆中心，A1、A2分别是椭圆左右顶点，B1、B2分别是椭圆上下顶点，F1、F2分别是椭圆左右焦点，B2F2的延长线交B1A2于点P，若∠B2PA2是钝角，求椭圆离心率e的取值范围．（第二十五届希望杯高二1试）

从一道“希望杯”赛题引出的一个圆锥曲线性质

题目 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）的两条渐近线的斜率之积为-3，左、右两支上分别有动点A和B．（1）若经过点D（0，5a）的直线AB的斜率为1，且→AD＝λ→DB，求实数λ的值；（2）设点A关于x轴的对称点为M．若直线AB、MB分别与x轴交于点P、Q，O为坐标原点．证明：OP·OQ=a^2。

不等式的两个性质在“希望杯”赛题中的应用

在数学竞赛中，常会遇到求最大值、最小值和不等式的证明问题，这类问题解法灵活，构思新颖，有时会感到难以下手。本文介绍不等式的两个性质，谈谈在这方面的应用，希望对同学们有所帮助。

“希望杯”中的整数解问题(初一、初二、初三)

在04年的“希望杯”全国数学邀请赛中,出现了许多涉及整数解的竞赛题.其中,题目的命题方式新颖,涉及面宽、范围广,需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧才能解决,令人耳目一新,对培养参赛学生高层次的数学思维十分有益.下面以04年“希望杯”试题为例,归纳一下求解这类问题的思想方法.