幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(S^a)表示.类似定义幂LCM矩阵[S^a].本文证明了:设S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且正整数a|b.如果n≤3,那么det(S^a)|det[S^b];如果,那么det(S^a)|det[S^b].

有限个互素因子链上幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x1,x2,...,xn}是由n个不同的正整数组成的集合,并设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因子的a次幂(xi,xj)a,则称该矩阵为定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)矩阵,用(Sa)表示;类似定义a次幂LCM矩阵[Sa].如果存在{1,2,...,n}上的一个置换σ使得xσ(1)|xσ(2)|···|xσ(n),则称S为一个因子链.如果存在正整数k,使得S=S1∪S2∪···∪Sk,其中每一个Si(1ik)均为一个因子链,并且对所有的1i=jk,Si中的每个元素与Sj中的每个元素互素,则称S由有限个互素因子链构成.本文中,设S由有限个互素的因子链构成,并且1∈S.我们首先给出幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的公式,然后证明:如果a|b,则det(Sa)|det(Sb),det[Sa]|det[Sb],det(Sa)|det[Sb].最后我们指出:如果构成S的有限个因子链不互素,则此结论一般不成立.

幂GCD矩阵及幂LCM矩阵的行列式的非整除性

当S是任一因子链,且|S|≥2时,给出了幂GCD矩阵及幂LCM矩阵的行列式的计算公式,并且得到了一个关于其行列式的非整除性的结果.

有限个互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵的非奇异性

设S={x1,x2,…,xn}是一个正整数组成的集合,a是一个正实数.如果一个n阶矩阵的第i行第j列的元素为1(xi,xj)a,称它是定义在集合S上的倒数幂GCD矩阵,用(1Sa)表示.类似可定义倒数幂LCM矩阵[1Sa].作者得到定义在有限个互素因子链上的倒数幂最大公因子矩阵与倒数幂最小公倍数矩阵的行列式计算公式,并得出它们均是非奇异的.

惟一因子分解整环上的GCD幂矩阵与LCM幂矩阵

设S={x1,x2,…,xn}是惟一分解整环R上的不同元素构成的集合,e≥1是一个正整数.(xi,xj)和[xi,xj]分别表示xi,xj的最大公因子和最小公倍数.S称为因子封闭集(简称FC集),如果对S中的任何元xi,它的任意一个因子是S中的一个元的相伴元.以(xi,xj)的e次方为i行j列元素的矩阵称为GCD幂矩阵,记为(Se);以[xi,xj]的e次方为i行j列元素的矩阵称为LCM幂矩阵,记为[Se].作者证明了若S是FC集,则(Se)整除[Se],即[Se]等于(Se)与R上另一个矩阵的乘积,推广了Bourque和Ligh在1992年所得的结果.

GCD封闭集上倒数幂GCD矩阵的非奇异性

设α为正整数,S={x_(1),…,x_(n)}为n个不同的正整数构成的集合。若对任意1≤i,j≤n,均有gcd(x_(i),x_(j))∈S,则称S是GCD封闭集。如果一个n阶方阵的第i行第j列元素为1/(gcd(x_(i),x_(j)))^(α),那么称它是定义在集合S上的α次倒数幂GCD矩阵。本文给出了某些特殊类型的GCD封闭集S上α次倒数幂GCD矩阵的行列式的计算公式,并且得到了有关其非奇异性的一些结果。

GCD闭集上的GCD幂矩阵和LCM幂矩阵

１９８９年以来，多位国内外学者讨论过定义在集上的ＧＣＤ矩阵和ＬＣＭ矩阵，获得了一批成果．本文是将他们的研究推广到所谓ＧＣＤ幂矩阵和ＬＣＭ幂矩阵上，得到了这两类矩阵在ＧＣＤ闭集上的结构定理、行列式的计算公式，特别是得出了ＬＣＭ幂矩阵和ＧＣＤ幂矩阵在ＧＣＤ闭集上的逆矩阵的漂亮结果．

定义在三个拟互素因子链上的倒数幂矩阵的非奇异性(英文)

首先给出定义在三个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵和倒数幂LCM矩阵的行列式的计算公式,由此证明定义在三个拟互素因子链S上且S的最大公因子属于S时的倒数幂GCD矩阵和倒数幂LCM矩阵是非奇异的.但当构成S的三个因子链不素时,如此的结果不成立.

定义在三个互素因子链上的交错幂GCD和交错幂LCM矩阵的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并且设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素定义为(-1)^(i+j)(x_i,x_j)~a,其中(x_i,x_j)_a表示S中的元素x_i与x_j的最大公因子的a次幂,则称这个矩阵((-1)^(i+j)(x_i,x_j)~a)是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)交错矩阵,简记为(AS^a).类似可定义a次幂最小公倍数(LCM)交错矩阵((-1)^(i+j)[x_i,x_j]~a),简记为[AS^a].在本文中,设S由三个互素的因子链构成,且1∈S.作者证明了如下结果成立:(1)若a|b,则det(AS^a)| det(AS^b),det[AS^a]| det[AS^b],det(AS^a)| det[AS^b];(2)在n阶整数矩阵环M_n(Z)中,若a|b,则(AS^a)|(AS^b),[AS^a]|[AS^b],(AS^a)|[AS^b];若ab,则(AS^a)(AS^b),[AS^a][AS^b],(AS^a)[AS^b].

使得幂GCD阵(S^e)整除幂LCM矩阵[S^e]的四元gcd封闭集S的一个刻画(英文)

Hong在2002年证明了如下结果:若S为gcd封闭集且|S|3,则在|S|阶整数矩阵环M|S|(Z)中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S].设e 1为给定的整数.在本文中,我们给出了关于四元gcd封闭集S的充分必要条件,使得在环M4(Z)中,定义在S上的e次幂GCD矩阵(Se)整除e次幂LCM矩阵[Se].这部分解决了Hong在2002年提出的一个公开问题.

两个拟互素因子链上倒数幂GCD与倒数幂LCM矩阵的非奇异性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是一个正整数的集合,a是一个正实数.如果一个n阶矩阵的第i行第j列的元素定义为1/(x_i,x_j)~a,其中(x_i,x_j)~a表示S中的元素x_1与x_j的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的倒数幂GCD矩阵,用(1/S^a)表示.类似可定义倒数幂LCM矩阵[1/S^a].作者得到了定义在两个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵的行列式公式,并由此证明了定义在两个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵均是非奇异的.

最大公因子封闭集上幂矩阵行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因数的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(S^a)表示.类似可定义幂LCM矩阵[S^a].作者证明了:若S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且a|b,如果n≤3,那么det(S^a)|det(S^b),det[S^a]|det[S^b];如果max{x_i}(?)<12,那么det(S^a)|det(S^b),det[S^a]|det[S^b].

关于幂LCM矩阵非奇异性的洪猜想的注记(英文)

作者研究了关于幂LCM矩阵非奇异性的两个洪绍方猜想,得到了几个非奇异性定理.

一类整数矩阵的最小奇异值的界

令正整数集S={x_1,x_2,…,x_n}(n≥1,x_i∈Z^+)为因子封闭集,即对任意的x_i∈S,它的所有正因子都包含在S中,S上的幂GCD矩阵及倒数幂GCD矩阵分别定义为(S^e):=((x_i,x_j)~e)及(1/S^e):=(1/((x_i,x_j)~e)).本文给出矩阵(S^e)及(1/S^e)的最小奇异值的上下界.

定义在两个互素因子链上的交错Smith矩阵的整除性

设S={x_1,x_1,…,x_n}是n个正整数组成的集合,a是正整数.如果一个n阶矩阵的第i行第j列的元素定义为(-1)^(i+j)(x_i,x_j)~a,其中(x_i,x_j)~a表示S中的元素x_i与x_j的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的a次交错幂GCD矩阵,用(AS^a)表示.类似可定义a次交错幂LCM矩阵[AS^a].作者证明了:设S由两个互素的因子链构成且1∈S时,则(i)若a|b,则det(AS^a)|det(AS^b),det[AS^a]|det[AS^b],det(AS^a)|det[AS^b];(ii)在n阶整数矩阵环M_n(z)中,若a|b,则(AS^a)|(AS^b),[AS^a]|[AS^b],(AS^a)|[AS^b];若a■b,则(AS^a)(?)(AS^b),[AS^a]■[AS^b],(AS^a)■[AS^b].