平方剩余函数及其图案美

在二次同余式的基础上，定义了一维、二维和多重平方剩余函数，得到了平方剩余函数的主要性质．平方剩余函数是一种非线性映射，具有优良的对称性和丰富的周期．利用计算机生成的图像显示了平方剩余函数“方中见圆，圆中见方”的古典图案美．与基于迭代的分形生成算法相比，这种基于取模的图像生成算法的时间复杂度很低．

平方剩余函数r(m)与欧拉判别法的推广

本文中的欧拉判别法是:当 P 是奇素数时,整数 a 是模 P 的平方剩余的充分与必要条件是 a((P-1)/2)≡1(modP);整数 a 是模 P 的平方非剩余的充分与必要条件是 a((P-1)/2)≡-1(modP).本文利用新定义的平方剩余函数 r(m)来推广欧拉判别法,更广泛地给出了整数 a 是模 m 的平方剩余和平方非剩余的充分与必要条件。

同余方程X^2≡a（modp~α）的公式解法

当Ｐ是奇素数，ａ是模ｐ的平方剩余时，同余方程ｘ~２≡ａ（ｍｏｄｐ）的解可以用公式表达。本文利用平方剩余函数ｒ（ｍ）推广了这一结果，把α＞１时同余方程ｘ~２≡ａ（ｍｏｄｐ~α）的解也用公式表示出来。

同余方程x^2≡a(modp^a)的公式解法

众所周知,p 是奇素数,a 是模 p 的平方剩余时,同余方程 x^2≡a(modp)的解可以用公式表达.本文利用文[2]中的平方剩余函数 r(m)推广了这一结果,把 a>1的同余方程 x^2≡a(modp~)的解也用公式表达出来了.