平面四边形上的Schwarz问题

寻找三角形的内接三角形，使周长最短，称为Schwarz问题，又名Fagnano问题。自从Fagnano1775年提出该问题以来，二百多年来为许多著名数学家所青睐，陆续找到了几种十分巧妙的解法，本文将此问题的条件从税角三角形推广为圆内接四边形（且圆心在四边形内）。称为平面四边形上的Schwarz问题，并由此得到了几个十分有趣的结果。

平面几何中最值问题的解题策略

平面几何中的最值问题是中考的热点,也是难点.解决这类问题的主要依据有两个:一是两点之间,线段最短;二是垂线段最短.最值问题常常涉及圆、三角形和四边形的相关知识,其解题策略主要有:化折线为直线、化双动点为单动点等.

处理斜边界问题的平行四边形平面应力单元

本文通过等参变换推导了平行四边形单元的刚度矩阵及等效节点力的表达形式，计算表明它们均为显式积分，等效节点力可通过静力等效原则得到．

平面向量及其应用学习要点聚集

要点一:平面向量的线性运算及应用要熟练掌握向量的有关概念,如平行向量,平面向量基本定理,用基底表示向量,向量的三角形法则,向量的平行四边形法则,这是平面向量线性运算的基础。向量是一个有“形”的几何量,因此在研究向量问题时,一定要结合图形进行分析与判断,这是研究平面向量的重要方法和技巧。

四边形面积问题

有关四边形的面积问题，在中考题中较为常见．而且形式多样，变化多种，在解法上没有固定的方式方法可用．只能根据题目的类型和变化灵活选用适当的方法，采用不同的解题策略分别对待．本文就此举例解说如下．

一道数学题的探究、归纳与应用——平面直角坐标系中的平行四边形

数与形不是孤立的，用代数方法研究图形问题能使许多问题变得简单，平面直角坐标系就是这样一个有力的工具．在平面几何里，平行四边形的性质大家都熟悉，但把平行四边形放在平面直角坐标系中，又会有怎样特殊的性质呢？下面我们就一起来研究一下这个问题．

一道数学题的探究、归纳与应用——平面直角坐标系中的平行四边形

数与形不是孤立的，用代数方法研究图形问题能使许多问题变得简单，平面直角坐标系就是这样一个有力的工具．在平面几何里，平行四边形的性质大家都熟悉，但把平行四边形放在平面直角坐标系中，又会有怎样特殊的性质呢？下面我们就一起来研究一下这个问题．

用坐标的平移规律解“平行四边形存在性问题”(初三)

如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，b）．B（c,d），线段AB平移到线段A1B1的位置。点A的对应点为A1（a1，b1）。点B的对应点为B，（c1，d1），则坐标平移规律如下.

二次函数中的四边形问题探究

一、典型例题平行四边形是四边形中最基本的图形,要熟练掌握二次函数与四边形相结合的探究问题,我们首先得从平行四边形谈起.例题:如图1,抛物线与两坐标轴相交于点A(1,0)、B(0,3)、C(-4,0).在坐标平面内,是否存在点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形?思路点拨:题中给出了构成平行四边形的三个顶点,且为三个定点,但是并没有明确平行四边形顶点的顺序,所以我们要进行分类讨论.分类讨论时一定要做到不重、不漏.那么,本题中,既可以分别讨论以AB、BC、AC为平行四边形对角线的情况,也可以以AB、BC、AC中的一条分别作为平行四边形的边进行讨论.

椭圆的内接四边形面积最值问题一例

全国及各地试卷中活跃着求圆锥曲线中的平面图形的最值问题，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的基本特征，这样的最值一般都不能使用几何法求解，只能建立目标函数，再根据均值不等式等方法求出目标函数的最值．由于这类题目灵活多变，面积公式也较多，因此考生做起来往往感到很棘手，所以在教学和高考复习中都要引起我们的重视．下面笔者以椭网的内接四边形面积最值问题为例，探究此类问题的破解策略．

一种精确积分的四边形四结点等参单元

针对平面问题四边形四结点单元，提出一种新的等参变换方法。采用平行四边形母单元和相应的形函数，推导出四边形四结点等参单元刚度矩阵的精确积分解。理论和数值分析表明，该方法从根本上克服了数值积分带来的误差，计算单元刚度矩阵的速度比传统的高斯两点积分方法快近三倍。

n维圆柱和m维半平面拓扑积的Hilbert边值问题

对于圆柱和半平面的Hilbert边值问题 ,在 1987年李明忠研究了双圆柱上的两个未知函数的一阶椭圆组R -H问题 ,通过引入积分算子 ,把它化为两个复变量的全纯函数的R -H问题 .在 1987年许忠义研究了多圆柱的B -调和函数的等价条件 ,在 1996年 ,许忠义、林良裕 ,研究了圆柱和半平面拓扑积Hilbert边值问题 ,在 2 0 0 0年 ,刘芫健 ,许忠义研究了多圆柱的Hilbert边值问题 .本文讨论了n维圆柱和m维半平面拓扑积的Hilbert边值问题 ,建立了这个区域的B -调和函数的边界条件和解析函数的Schwarz积分公式 。

借助托勒密定理 构造圆内接四边形

我们熟知的托勒密定理及广义托勒密定理如下：托勒密定理：凸四边形ABCD内接于圆的充要条件是AB·CD＋AD·BC=AC·BD。广义托勒密定理：若四边形ABCD为凸四边形,则AB·CD＋AD·BC≥AC·BD,当且仅当凸四边形ABCD内接于圆时等号成立,亦称托勒密不等式。上述托勒密定理及广义托勒密定理是平面几何中最著名的定理,笔者研究奥赛多年,深知其在平面几何中的地位与作用,然而很少关注它在代数中的应用。近些日子再一次审视熟悉而又陌生的托勒密定理时，不仅发现其本身具有鲜明的代数特征，而且托勒密定理还是馋决代数问题的强有力工具，可以说托勒密定理是数形结合的典范。运用托勒密定理解决代数问题的关键在于构造满足条件的圆内接四边形，本文是笔者近期一点心得体会，以求抛砖引玉，不当之处，敬请批评指正。

伤其十指不如断其一指——以“解决平面动态四边形相关问题”为例

通过深度剖析平面动态四边形中边(角)及相关面积(周长)取值范围(最值)的求解过程,探究解决平面动态四边形相关问题的具体操作流程,提高解题教学效率。

巧用三则平面几何知识简解解析几何问题

在解析几何中,有一类涉及到平面几何初步知识的问题,如相似三角形性质、平行四边形的边长关系、重心的性质,这类题往往与平面向量、圆锥曲线等有机结合,通过稍加改变而成创新题.

数学竞赛中的凹四边形(初二、初三)

如图1,在凹四边形ABCD中,必有∠BDC=∠A+∠B+∠C. 此性质的证明有多种途径: 方法1 连结AD并延长,由三角形外角性质易证. 方法2 连结BC,由三角形内角和的定理易证. 方法3 延长CD(或BD)交AB(或AC)于E,利用三角形外角性质易证.

三角形与四边形

三角形与四边形的有关知识是“空间与图形”中最为核心的内容．其中三角形既是最基本的直线型平面图形，也是研究其他图形的工具和基础．在初中阶段，所有与图形有关的计算问题、推理问题，都可转化为三角形的问题来解决。

证明三角形面积与四边形面积相等三招

在平面几何中，图形的面积是一类重要的特征几何量，因此证明有关面积问题也是我们常见的命题之一，尤其是证明三角形与四边形面积之间的数量关系问题，更需要我们去掌握、去应用，为了让学生更好地掌握这方面的相关知识，本文特通过三个具体实例，提供三种证明三角形和四边形面积相等的招数，供同学们在学习中体会、模仿、应用．

平面镶嵌问题——从全等凸七边形不能镶嵌平面谈起

问题的提出用全等的凸多边形无重叠也无间隙地覆盖整个平面，称平面可用这种凸多边形镶嵌．平面可以用三角形镶嵌，也可以用四边形镶嵌，也可以用正六边形镶嵌．Martin Gardner在1975年7月的《Scientific American》中提出了对怎样的凸五边形可以镶嵌平面？之前，已给出几种镶嵌五边形的镶嵌方案．自然而然地想到能否用更多边数的凸多边形镶嵌平面呢（由Martin Gardner提出但没有给出证明）？