广义勾股定理和勾股型不等式

从直角三角形中两边之和大于第三边和勾股定理出发,通过构造“面直角三角形”和“体直角三角形”,以及考察直角四棱锥,在使用类比、归纳、对称和推广等方法的基础上,作出“面直角三角形”、“体直角三角形”及直角四棱锥状态下的相应猜想,并对这些猜想进行了必要论证,从而建立起了广义勾股定理和勾股型不等式.

广义勾股定理

众所周知,勾股定理是针对直角三角形而言的,本文把勾股定理推广到除等边三角形以外的任意三角形,引入广义勾股定理,使勾股数成为历史,用它可以非常简单地判断一个三角形是钝角三角形、直角三角形还是锐角三角形.根据广义勾股定理,引入三角形的秩、新正弦和新余弦,从而已知三角形的秩时,任意三角形都可以当作直角三角形来解;不知三角形的秩时,也得到了解三角形的简捷方法,此时没有必要像通常那样使用正弦定理和余弦定理.最后,本文给出三角形的秩的几何意义.

广义勾股定理和广义三角函数

众所周知,只有直角三角形才有勾股定理,把勾股定理推广到除等边三角形以外的任意三角形,引入广义勾股定理,根据广义勾股定理,广义三角函数,得到解三角形的简捷方法广义三角函数跟正弦函数余弦函数一样,都是周期函数,单调性也相同,图像也差不多,而且还具备正弦函数余弦函数不具备的许多优点,因此建议把它看成基本初等函数并取代正弦函数余弦函数。广义三角函数在物理学以及其他学科中都有重要应用,例如在水波、声波、简谐振动和交流电中,这些问题用广义三角函数研究比纯粹用三角函数研究更精确更好。广义勾股定理是勾股定理的推广,具有重要的理论和应用价值。