广义密度演化方程的δ函数序列解法

随机动力系统响应或状态向量的概率密度函数一般遵循概率密度演化方程,如Liouville方程、FPK方程和Dostupov-Pugachev方程,但是上述方程均属于高维偏微分方程,求解相当困难.基于概率守恒原理的随机事件描述导出的广义密度演化方程,其维数与系统自由度无关,为随机动力系统分析提供了可能的途径.从广义密度演化方程的形式解出发,引入δ函数的渐近序列,获得了广义密度演化方程的一种新的数值解法——广义密度演化方程的δ序列解法.将建议方法与非参数密度估计进行了对比,指出非参数密度估计是该方法的一个特例.最后,分别采用重构实例和演化实例验证了该方法在一维和多维情形下的有效性.

随机动力系统中的广义密度演化方程

针对一般随机动力系统,考察了概率守恒原理．在考虑随机场与随机过程分解的意义上, 探讨了同时含有初始条件随机性、外部激励随机性和系统参数随机性的随机动力系统中的概率守恒原理．通过与连续介质力学中的Euler系统描述与Lagrange系统描述的比拟,深入讨论了概率守恒原理的状态空间描述与随机事件描述．特别是在随机事件描述的基础上,导出了适用于随机动力系统的广义密度演化方程．在此基础上,发展了密度演化理论的分析方法,使得范围广泛的多维随机动力系统的求解问题迎刃而解．以非线性随机结构的动力响应分析为对象,示例了密度演化理论的实际应用．

基于广义密度演化方程的结构随机最优控制

基于广义密度演化方程和Pontryagin极大值原理,推导了一般随机激励作用下闭环系统随机最优控制中状态向量和控制力向量的物理解答,讨论了基于二阶统计量评价的控制律参数设计准则。以物理随机地震动模型为输入,考察了单层框架结构主动锚索系统的随机最优控制,并与经典LQG控制做了比较分析。结果表明,本文提出的随机最优控制方法具有适用性和有效性。

广义概率密度演化方程的Chebyshev拟谱法

概率密度演化方法(probability density evolution equation,PDEM)为非线性随机结构的动力响应分析提供了新的途径.通过PDEM获得结构响应概率密度函数(probability density function,PDF)的关键步骤是求解广义概率密度演化方程(generalized probability density evolution equation,GDEE).对于GDEE的求解通常采用有限差分法,然而,由于GDEE是初始条件间断的变系数一阶双曲偏微分方程,通过有限差分法求解GDEE可能会面临网格敏感性问题、数值色散和数值耗散现象.文章从全局逼近的角度出发,基于Chebyshev拟谱法为GDEE构造了全局插值格式,解决了数值色散、数值耗散以及网格敏感性问题.考虑GDEE的系数在每个时间步长均为常数,推导了GDEE在每一个时间步长内时域上的序列矩阵指数解.由于序列矩阵指数解形式上是解析的,从而很好地克服了数值稳定性问题.两个数值算例表明,通过Chebyshev拟谱法结合时域的序列矩阵指数解求解GDEE得到的结果与精确解以及Monte Carlo模拟的结果非常吻合,且数值耗散和数值色散现象几乎可以忽略.此外,拟谱法具有高效的收敛性且序列矩阵指数解不受CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)条件的限制,因此该方法具有良好的数值稳定性和计算效率.

含多维随机变量的广义概率密度演化方程解析解:以Euler-Bernoulli梁为例

广义概率密度演化方程的解析解,不仅具有重要理论价值,而且具有校验数值解、进而标定数值算法误差的作用.以Euler-Bernoulli简支梁为例,推导给出了梁受迫振动时跨中位移响应所对应的广义概率密度演化方程解析解.包括非平稳非高斯随机载荷作用下的解(包含2维随机变量)以及同时考虑载荷随机性和结构参数随机性时的解(分别包含2维、4维和5维随机变量).分析结果表明,真实的概率密度演化是一个十分复杂的过程,远不能用简单的概率分布函数加以描述.这一进展,可为概率密度演化理论的进一步深入研究提供一个方面的基础.

广义密度演化方程δ序列解法的误差分析

相比于差分法,δ序列解法是广义密度演化方程一种崭新且有效的数值解法。为进一步完善δ序列解法,该文对其误差进行了系统的分析。首先,通过引入δ序列逼近,将δ序列解法的误差分为两部分;其次,通过简单的数学变换和代换,并结合Taylor展开,给出了第1部分误差的上界估计,并探讨了其与非参数核密度估计法误差的联系与区别;然后,经过相似的推导,给出了第2部分误差估计的上界。基于上述误差估计,指出影响δ序列解法误差的因素主要包括δ函数序列的类型、参数λ的取值、代表点集的选取,为δ序列解法的参数研究奠定了理论基础。

三类随机系统广义概率密度演化方程的解析解

近年来逐步发展的概率密度演化方法理论为随机动力系统的分析与控制研究提供了新的途径.过去若干年来,已经发展了一系列数值方法如有限差分法、无网格法用于求解广义概率密度演化方程.但是,针对典型随机系统,关于这一方程解析解尚比较缺乏.本文以李群方法为工具,研究给出了Van der Pol振子、Riccati方程和Helmholtz振子3类典型随机非线性系统的广义概率密度演化方程解析解.这些结果,不仅可以作为检验求解广义概率密度演化方程的数值方法结果正确性的判别依据,也为概率密度演化理论的进一步深入研究提供了若干分析实例.

广义概率密度演化方程的相空间重构解法

提出了一种新的相空间重构法(PSRM)用于求解强非线性系统的广义概率密度演化方程,并对若干典型的强非线性随机系统进行了研究,包括SDOF振子、Riccati振子、Van der pol振子和Duffing振子.所得结果验证了PSRM在求解广义密度演化方程(GDEE)时的高效性与精确性.

随机动力系统中的概率密度演化方程及其研究进展

从概率密度演化的基本思想出发,阐述了概率密度演化方程的历史、进展与应用,文中首先剖析和澄清了概率守恒原理的物理意义,论述了概率守恒原理的随机事件描述和状态空间描述,并由此阐明了概率密度演化与系统物理演化的内在联系,即:系统的物理状态演化构成了概率密度演化的内在机制.在此基础上,结合概率守恒原理的两类描述以及系统状态的物理演化方程,以与历史上不同的方式,重新推导了经典概率密度演化方程,包括Liouville方程、FPK方程和Dostupov-Pugachev方程,进一步阐明了这些方程的物理意义,以及它们不能降阶的原因.结合概率守恒原理的随机事件描述和解耦的系统物理方程,导出了广义概率密度演化方程.分析了广义概率密度演化方程的物理意义.以非线性结构随机反应的概率密度演化分析为例,展示了概率密度演化理论的应用前景.最后,指出了需要进一步研究的问题.

随机地震动的概率密度演化

利用广义概率密度演化方程,研究了随机地震动加速度时程的时变概率密度分布。利用集集地震实测地震动记录建模,识别给出了Ⅱ类场地随机地震动物理模型的基本参数及其分布。引入空间伸缩变换和Voronoi准则,发展了多维概率空间剖分的实用算法,对比分析了随机地震动模型与真实地震动的概率密度函数。结果表明:随机地震动物理模型可以客观反映真实地震动加速度时程的精细概率结构。

随机动力系统磁流变阻尼最优控制策略

提出了基于广义密度演化方程的限界Hrovat半主动控制策略.以随机地震动作用下磁流变阻尼控制系统为研究对象,根据系统二阶统计量评价和跟踪实现目标主动最优控制力的控制准则,进行了磁流变液阻尼器的参数设计.数值结果表明在概率意义上,恰当设计的半主动控制器可以达到与主动控制器几乎相同的控制效果.同时,磁流变阻尼器表现出类似Bouc-Wen模型的动态阻尼性能,即强度退化、刚度退化和捏拢效应.

基于模型结构振动台试验的概率密度演化方法验证

以广义概率密度演化方程为核心的概率密度演化方法可应用于一般随机动力系统的反应分析与可靠度评价。该文基于随机地震动作用下模型结构振动台试验实测数据,将试验模型典型动力响应的样本集合直接统计结果与概率密度演化分析结果进行对比,以从试验角度验证概率密度演化方法的正确性。研究结果表明,概率密度演化分析结果,无论从均值与标准差过程,还是典型时刻的概率分布上,均分别与样本统计结果吻合良好,从而证明了概率密度演化方法在随机动力系统分析中的精确性与可靠性。