广义稠密对称特征问题标准化算法在GPU集群上的有效实现

广义稠密对称特征问题的求解是许多应用科学和工程的主要任务,并且是计算电磁学、电子结构、有限元模型和量子化学等计算中的重要部分。将广义对称特征问题转化为标准对称特征问题是求解广义稠密对称特征问题的关键计算步骤。针对GPU集群,文中给出了广义稠密对称特征问题标准化块算法在GPU集群上基于MPI+CUDA的实现。为了适应GPU集群的架构,广义对称特征问题标准化算法将正定矩阵的Cholesky分解与传统的广义特征问题标准化块算法相结合,降低了标准化算法中不必要的通信开销,并且增强了算法的并行性。在基于MPI+CUDA的标准化算法中,GPU与CPU之间的数据传输操作被用来掩盖GPU内的数据拷贝操作,这消除了拷贝所花费的时间,进而提高了程序的性能。同时,文中还给出了矩阵在二维通信网格中行通信域和列通信域之间完全并行的点对点的转置算法和基于MPI+CUDA的具有多个右端项的三角矩阵方程BX=A求解的并行块算法。在中科院计算机网络信息中心的超级计算机系统“元”上,每个计算节点配置2块Nvidia Tesla K20 GPGPU卡及2颗Intel E5-2680 V2处理器,使用多达32个GPU对不同规模矩阵的基于MPI+CUDA的广义对称特征问题标准化算法进行测试,取得了较好的加速效果与性能,并且具有良好的可扩展性。当使用32个GPU对50000×50000阶的矩阵进行测试时,峰值性能达到了约9.21 Tflops。

计算实对称矩阵广义特征值问题的并行算法

矩阵广义特征值问题是科学计算与工程应用中的一个重要的研究课题。文章探讨了近年来计算对称矩阵广义特征值问题的并行算法，并着重介绍了二分法、分治算法、同伦连续法和迭代算法。

非对称广义特征值问题的并行连续同伦算法

非对称矩阵广义特征值问题的并行计算是大规模工程计算中的基础问题之一。迄今为止，国内外关于该问题的研究进行得很少，提出的有效算法不多。首次将连续同伦算法应用于非对称广义特征值问题的并行求解，提出并行连续同伦算法。

非对称广义特征值问题的拟- Eberlein 算法及其并行化

非对称广义特征值问题的并行计算，目前在国内外研究得很少， Ｇ． Ｗ ． Ｓｔｅｗ ａｒｔ 和 Ｐ． Ｊ． Ｅｂｅｒｌｅｉｎ 曾分别研究非 Ｈｅｒｍ ｉｔｅ 矩阵标准特征值的并行拟 Ｊａｃｏｂｉ算法，１９８９ 年 Ｊ． Ｐ． Ｃｈａｒｌｉｅｒ 和 Ｐ． Ｖａｎ Ｄｏｏｒｅｎ 在 Ｇ． Ｗ ． Ｓｔｅｗ ａｒｔ 的工作基础上提出了求解非对称广义特征值问题的拟 Ｊａｃｏｂｉ算法（简称 Ｃ Ｖ 算法）与并行拟 Ｊａｃｏｂｉ算法。文中以 Ｊ． Ｐ． Ｃｈａｒｌｉｅｒ 等人的工作为基础，提出求解大型非对称广义特征值问题的拟 Ｅｂｅｒｌｅｉｎ 算法与并行拟 Ｅｂｅｒｌｅｉｎ 算法， Ｃｈａｌｌｅｎｇｅ Ｌ 并行系统上的数值试验表明，不仅并行效率很高，且敛速远优于 Ｃ Ｖ

求解对称带状广义特征值问题的扩展分治算法

提出了分布式环境下计算对称带状广义特征值问题的一种扩展分治算法 ,给出了特征值分割定理及其证明 算法在扩展分治的基础上 ,利用二分压缩结合广义Rayleigh商迭代计算广义特征对 理论分析和数值实验表明 ,对于窄带宽大规模的广义特征值问题 ,该分治算法明显优于LAPACK软件包 结合并行性好的多分法 。

计算广义实对称三对角矩阵特征值问题的分治算法

关于广义实对称三对角矩阵特征值问题的计算 ,本文提出了一个新的分治算法。该算法以二分法、割线法迭代为基础 ,采用分而治之策略。理论分析和数据试验结果表明 :该算法的收敛速度快 ,可以节省大量的计算时间。

广义特征值问题的EBE－Lanczos并行算法

本文利用ＥＢＥ策略和ＰＣＧ法，将广义特征值问题Ｌａｎｃｚｏｓ法中各步的计算都单元化，从而避免了总刚度矩阵的组集而大大节省了存储量。同时，由此建立的ＥＢＥ－Ｌａｎｃｚｏｓ方法尤其适宜于并行计算。在银河－Ⅱ机上的数值试验结果表明无论是串行、还是并行计算，ＥＢＥ－Ｌａｎｃｚｏｓ迭代法都能有效提高计算速度。如对模型问题，若网格取２４×２０，则在串行计算时，ＥＢＥ计算途径较传统的总体计算途径的速度提高倍数达３．１４，而在并行计算时，并行的ＥＢＥ计算途径（挂用４个处理机）较串行的总体计算途径的速度提高倍数可高达１１． ４。总之该方法为一种有效的大型工程结构动力分析问题的求解方法。

非对称广义特征值问题重特征值的灵敏度分析

以标准特征值问题灵敏度分析的有关结论为基础,证明了单参数非对称广义特征值问题半单重特征值的可微性,给出了特征值导数的表达式和特征向量的级数展开式.以所得结论为基础,定义了广义特征值问题半单重特征值的灵敏度,给出了确定矩阵对中敏感元素的方法.

投影广义对称矩阵逆特征值问题可解性条件及最佳逼近

研究了投影矩阵的结构,给出投影变换下一类广义对称矩阵(即投影广义对称矩阵)的概念及结构,讨论了此类广义对称矩阵逆特征值问题有解的充要条件,并给出通解的表达式;同时也考虑了对于给定矩阵的最佳逼近问题.

对称与反对称定广义特征值问题的Rayleigh商型格式

对广义特征值问题Ax＝λBx，其中B实对称正定，A实对称或实反对称，我们分别称之为对称定和反对称定问题。本文针对此两类广义特征值问题建立相应的高收敛率Rayleigh商型迭代格式SDRQI（l）和SKSDRQI（l）。作为SDRQI（l）的一个应用，它可用于修正M－W法的计算结果。

对称三对角线特征值问题的一个并行修正拟Laguerre算法

在拟 Laguerre算法的基础上 ,提出了用修正拟 L aguerre算法来求解对称三角线特征值问题 ,并给出了算法的并行实现 .

广义特征值问题的道路跟踪算法

针对古典广义特征值问题：（λＢ—Ａ）Ｘ＝０．（１）其中，Ａ为对称方阵，Ｂ为对称正定方阵，提出了一种保稀疏性、保序性（特征值），不需化为标准特征问题的道路跟踪算法．其思想是从一平凡问题的解出发，沿着光滑道路跟踪到所论问题（１）的解．此算法尤其适合于大型稀疏问题和当Ｂ求送病态的问题．最后，通过例子验证了算法的有效性．

解实三对角对称矩阵特征值问题的并行LL^T-QR算法

在研究解特征值问题的ＣｈｏｌｅｓｋｙＬＲ算法和ＱＲ算法的基础上，得到了一类求实对称矩阵特征值问题的新方法——ＬＬＴ－ＱＲ算法和相应的并行算法．数值实验表明，这类算法具有较快的速度．

一类广义对称矩阵的左右逆特征值问题及其最佳逼近

基于正交投影变换,给出了广义投影对称矩阵的定义,并讨论了其结构特性.在此基础上,考虑了此类广义对称矩阵的左右逆特征值问题的可解性条件,并得到其通解表达式.同时,对任意给定矩阵得到了相应最佳逼近问题的唯一解.

广义对称双随机矩阵逆特征值问题

文章利用实对称矩阵特征值与特征向量所具有的特性,给出了以实数集为谱的广义对称双随机矩阵逆特征值问题有解的几个充分条件和解的表达形式,并以二元、三元、四元实数集为例,说明了具体构造解的方法。

基于分治法求解对称三对角矩阵特征问题的MPI/Cilk混合并行算法

对称稠密矩阵特征问题的求解通常转化为三对角矩阵特征问题的求解,基于对称三对角矩阵特征求解的分而治之方法,提出了一种基于消息传递接口(message passing interface,MPI)+Cilk多任务并行模型的混合求解算法,采用进程间数据并行和进程内多线程任务并行的方法,实现了对分而治之算法中分治阶段和合并阶段的多任务划分和动态调度。进程内利用Cilk任务执行的有向无环图模型,解决了线程级并行的数据依赖和饥饿等待等问题,提高了程序的并行性;进程间通过粗粒度计算任务的划分,优化了MPI部分的数据通信流程和负载均衡问题。数值实验表明,混合并行算法在计算性能和可扩展性方面都要优于纯MPI并行算法。

求解对称非负逆特征值问题的一阶黎曼算法

基于对称非负逆特征值问题的黎曼优化模型,提出了求解该问题的黎曼梯度下降算法和黎曼共轭梯度算法,并分析了这两种算法的收敛性。通过数值实验,比较了两种算法的收敛效率。数值结果表明,求解高阶的非负逆特征值问题时,黎曼共轭梯度算法的收敛效率要高于黎曼梯度下降算法。

广义特征值问题的并行块Jacobi-Davidson方法及应用

给出了对称矩阵广义特征值问题AX=λBX的并行块Jacobi-Davidson方法。该方法使用投影技术将大型矩阵特征值问题转变成低维子空间中矩阵特征值问题,并利用Neumann级数展开对校正方程进行预处理。该方法可同时并行计算广义特征值问题的几个极端特征对,具有良好的并行性。将这一方法应用于某型号机翼及挂架的结构动力分析并行计算,在IBM-P650并行计算机上的数值试验结果表明,在相同迭代精确度的条件下,Jacobi-Davidson方法比子空间迭代法使用较少的迭代次数和运算时间,并具有更高的加速比和并行效率。

一类对称正定及半正定的左右逆特征值问题

针对实际问题中经常遇到广义特征值的逆问题 ,研究了一类对称正定及半正定的左右逆特征问题 ,给出了这类问题的对称解 ,对称正定解 ,对称半正定解存在的充要条件与其解的表达式 .

一类正定矩阵的广义特征值反问题解存在的条件

讨论了正定矩阵广义特征值反问题解存在的条件,给出了求解的算法和数值例子.