矩阵指数计算的广义极分解方法

李群算法是在流形上计算微分方程数值解的方法,其基本思想是把数值解限制在比平直的欧氏空间小而又比解流形大的流形上,这样从整体上会对算法有约束作用,使得数值解不会随着时间的增加而变得面目全非。虽然如此,李群算法有一个重大缺陷,当离散后得到的矩阵规模变大时,矩阵指数计算的计算量会迅速增大,从而严重影响了李群算法的应用。针对这一问题,讨论了提高计算矩阵指数运算速度的广义极分解方法。

广义极分解的扰动等式

研究m×n(m≥n)且秩为r的复矩阵A的广义极分解A=QH,其中Q为m×n次酉矩阵,H为n×n半正定矩阵;利用奇异值分解的方法,给出了在任意酉不变范数下Q和H的扰动等式．

酉不变范数下广义极分解的扰动界

设A是m×n且秩为r的复矩阵,存在m×n次酉矩阵Q和n×n半正定矩阵H使得A=QH.此分解称为A的广义极分解.文章给出了在任意酉不变范数下次酉矩阵Q和半正定矩阵H的扰动界.

乘法扰动下广义极分解的扰动恒等式

设A是m×n(m≥n)且秩为r的复矩阵.存在m×n次酉矩阵Q和n×n半正定矩阵H使得A=QH,此分解称为A的广义极分解.运用奇异值分解,给出了乘法扰动下,矩阵的广义极分解在任意酉不变范数下的扰动恒等式.

关于极分解和广义极分解的一些新结果

本文研究极分解和广义极分解.孙和陈提出的Frobenius范数下的逼近定理被推广至任何酉不变范数情形.得到了次酉极因子的一个新的表达式.通过新的表达式,我们得到了次酉极因子在任何酉不变范数下的扰动界.最后,讨论了数值计算方法.

广义极分解

本文使用下列符号:C^(m×n)表示m×n复矩阵的集合,C_r^(m×n)表示秩为r的m×n复矩阵的集合,A^H和A^+分别表示矩阵A的共轭转置和Moore-Penrose广义逆,|| ||_2表示向量的Euclid范数和矩阵的谱范数,|| ||_F表示Frobenius范数,R(A)

广义规范矩阵的一些分解式

利用广义规范矩阵与亚规范矩阵在合同下的标准形与等价条件,给出了广义规范矩阵与亚规范矩阵的一些新的分解:广义极分解,正定可对称化酉分解,对称对合分解与谱分解.作为应用,作者得到了规范矩阵与正定矩阵的一些新的分解式..

次酉极因子在酉不变范数下的相对扰动界

设A是一个m×n阶复矩阵,分解A=QH称为广义极分解,如果Q是m×n次酉极因子且H为n×n半正定的Hermite矩阵．本文获得了次酉极因子在任意酉不变范数下的几个相对扰动界,在某种意义上,相对扰动界比R．C．Li等获得的绝对扰动界要好．

(次)酉极因子扰动界的一些注记

设A是m×n复矩阵,分解式A=QH称为A的广义极分解,如果Q是m×n次酉矩阵和H是n×n半正定的Hermite矩阵.本文改进了以往的(次)酉极因子的扰动界.

延拓矩阵在非保秩扰动下次酉极因子的扰动界

延拓矩阵Rk(A)与其扰动矩阵R^k(A)的秩不相等时,利用奇异值分解的方法和在Frobenius范数下,对延拓矩阵Rk(A)与其扰动矩阵R^k(A)在广义极分解中的次酉因子,首次导出了在加法扰动下的扰动界和乘法扰动下的扰动界.

矩阵的半正定因子及次酉极因子的扰动界

在矩阵的扰动分析中,广义极分解和奇异值分解占有非常重要的地位。对矩阵进行广义极分解,得到半正定因子和次酉极因子。利用矩阵的奇异值分解和广义极分解,得到了范数意义下矩阵的半正定因子和次酉极因子的扰动界,且扰动界是以恒等式的形式给出。

乘法扰动下任意矩阵次酉极因子的扰动界

利用矩阵的奇异值分解和广义极分解,在乘法扰动下,研究了任意矩阵次酉极因子的扰动界,得到了全新的扰动上界定理,所得结论将文献[3]中的列满秩矩阵推广到了非列满秩矩阵.

M-P逆在加法扰动下半正定极因子的扰动界

设A∈Cmr×n,~A∈Cmr×n,则A+∈Crn×m,~A+∈Cnr×m.A+和~A+的广义极分解分别是A+=QH与~A+=~Q^H,其中H与~H为n×m次酉矩阵,利用奇异值分解的方法,给出了Moore-Penrose广义逆矩阵A+在酉不变范数‖.‖下半正定极因子的扰动界.

半正定极因子的扰动界

对广义极分解中半正定极因子的扰动界进行了研究,得到F范数以及2-范数下新的扰动界,与已知结果相比本文结果更优.

次酉极因子的扰动界

矩阵扰动问题不仅对矩阵论,而且对控制论、力学、线性系统以及工程都有着重要的意义.主要利用矩阵特征值与奇异值的性质,对广义极分解中次酉极因子的扰动界进行研究,得到F范数下新的扰动界,并利用最新的换子不等式,对李仁仓的研究结论重新证明,该证明更加简短有趣.

关于近似广义极因子的误差界

设A是m×n阶复矩阵,分解式A=QH称为A的广义极分解,如果Q是m×n阶次酉短阵和H是n×n半正定的Hermite矩阵．本文给出了广义极分解的一些性质和推广了有关近似极因子的相关结论．

列满秩矩阵的半正定因子的新扰动界

利用矩阵的奇异值分解和广义极分解,得到了列满秩矩阵广义极分解的半正定因子的新扰动界。所得结论改进了以前的结果,先前结论可看作新扰动界的一种特殊情形。