广义五阶非线性薛定谔方程的怪波与呼吸子的复合波解

基于规范变换,为广义五阶非线性薛定谔方程建立达布变换。应用达布变换的可迭代性质,获得该方程的N重达布变换。把广义五阶非线性薛定谔方程Lax对的两组特解代入二重和三重达布变换中,获得该方程的怪波与呼吸子的复合波解。研究表明怪波和呼吸子可以在复合波解中独立存在。

一类非线性系统的广义伴随线性方程分析研究

非线性输出频率响应函数是线性系统理论中频率响应函数在非线性系统中的一种推广,越来越多的学者已将其应用在结构损伤检测及故障诊断中.基于Volterra级数理论与由非线性微分方程描述的单输入单输出非线性系统的广义频率响应函数递归计算公式,利用多重积分性质和多维傅里叶变换,将广义频率响应函数映射到了一维频域中,推导出了一类非线性系统的广义伴随线性方程计算公式.研究表明,这类系统的第n阶非线性输出响应是以系统输入激励和前n-1阶非线性输出响应的组合函数作为广义激励作用到系统各阶广义伴随线性方程中的输出响应,最后通过求解一系列线性微分方程可得到这类非线性系统的任意阶非线性输出响应,其结果弥补了伴随线性方程无法求解这类非线性系统的不足.同时,针对广义伴随线性方程的数值计算问题,论文提出了一种耦合计算法,提高了计算非线性输出响应的精度,为非线性输出频率响应函数的计算提供了一种新思路.最后利用广义伴随线性方程与线性算子理论研究了两种典型非线性系统中非线性现象产生的原因,研究结果为非线性系统的分析与设计提供了一种有效途径.

基于修正非线性薛定谔方程的三维聚焦波组波谱演化

为了研究深水三维聚焦波的定向演化,对4阶修正非线性薛定谔方程(MNLSE)、3阶非线性项薛定谔方程(NLSE)以及线性方程等3种演化模型进行数值求解,并对生成的波谱特征以及其演化过程中的能量转移、波陡变化、平均波数变化以及带宽变化等特征进行对比研究。研究结果表明:在2种非线性演化模型的演化过程中均存在能量向高波数和低波数的转移,导致波浪波形发生变化,且非线性还会影响聚焦波陡、聚焦波组达到聚焦所需时间以及带宽等参数的变化;上述特征在2种非线性演化模型中存在着显著差异,4阶MNLSE演化下的三维聚焦波组特征优于3阶NLSE的演化。

α-螺旋蛋白中三分量高阶非线性薛定谔方程的怪波解

以三分量高阶非线性薛定谔方程为α-螺旋蛋白中生物能量沿蛋白质分子链传输的控制方程,研究三个相互耦合的波函数在极限状态下激发的怪波.基于控制模型的Lax对表示,利用规范变换得到了达布变换的行列式形式.通过Lax对的变量分离和平移参数的引入,给出了怪波激发的代数条件.进一步利用幂级数的多项分裂构造怪波解的基础特征函数,并由此导出退化的达布变换.最后通过退化的达布变换获得怪波解,并在不同参数下,用三维图形示例怪波的波形演化及其极值轨迹.

(3+1)维广义非线性发展方程的双线性Backlund变换与精确解

基于Hirota双线性方法和试探函数法,研究一个(3+1)维广义非线性发展方程的双线性Backlund变换和精确解问题。用Hirota双线性法,构造(3+1)维广义非线性发展方程的双线性形式和双线性Backlund变换。基于双线性形式和双线性Backlund变换,利用试探函数法与符号计算系统Mathematica,获得(3+1)维广义非线性发展方程的多种精确解,包括呼吸波解、复合型解、Lump周期解和孤子解,并分析解的相互作用情况。

利用齐次平衡法求解高阶非线性薛定谔方程

利用相似约化法将高阶非线性薛定谔方程转化为高阶常微分方程组,运用齐次平衡法求解高阶常微分方程组,获得了高阶非线性薛定谔方程的双曲-sech和tanh形式的孤子解,并且对所获得的解的代数结构展开讨论,给出相应三种解的图像.

幂次型非线性薛定谔方程解的长时间性态

研究在R^(2)上幂次型非线性薛定谔方程{iu_(t)+1/2△u=λ|u|^(a)u,u(1,x)=φ(x),当0<α<1且λ∈R时,如果初值充分小,则方程存在唯一的整体解,并且当√5-1/2<a<1时,方程具有改善型散射态.

带有PT对称势的非线性薛定谔方程的两类反问题

本文对带有PT对称势三阶五阶幂律非线性薛定谔方程提出了关于参数和势函数反演的两类反问题。对于参数反演问题,我们分别采用PINNs (Physics Informed Neural Networks)和传统的结合有限差分法与优化算法求解的方法进行比较。计算结果显示,在求解反问题时,传统方法每步参数优化需要数值求解非线性薛定谔方程,计算量较大。而PINNs的方法无需重复求解薛定谔方程,计算效率更高。对于PT对称势函数反演问题,通过在PINNs中嵌入自适应基函数,从而反演得到PT对称势。数值实验显示PINNs在算法计算反问题效率上优于传统微分数值求解和优化相结合的方法。

非线性薛定谔方程解的同伦分析

同伦分析法是一种求解非线性演化方程的有效方法,本文研究了非线性薛定谔方程的同伦分析解。通过将方程化为耦合的方程组,给出了具有高次非线性和高阶色散的非线性薛定谔方程的孤子解和周期解,研究可给类似问题的求解提供有益思路。

一类非线性薛定谔方程的涡环解

本文考虑一类非线性薛定谔方程的涡环解.特别地,对二维非线性薛定谔方程,当径向磁场,电场满足恰当的符号条件时,证明了其存在任意指定的零点个数的非径向解,并且该解在无穷远处指数衰减.特别地,库伦位势,反平方位势,阶梯形位势等经典物理情形满足本文的条件.为了证明主要结果,除了使用靶向法处理约化的常微分方程外,本文主要引进了一个新的Pohozaev恒等式和辅助泛函,以及若干恰当函数变换.

一类非线性薛定谔方程解的爆破

考虑非线性薛定谔方程i∂_(t)u=-Δu+i(-t)^(a(p-1))|u|^(p-1)u,这里p>1,满足(n-2)(p-1)≤4,a≥0是已知实数,(t,x)∈(-∞,0)×R^(n),u=u(t,x)是未知的复值函数.第一,证明了反向方程解的整体适定性;第二,构造了所研究方程的一个近似解,主要想法是构造一个显函数Ф(t,x)=(C(-t)^(a(p-1)+1)+φ(x))^(1/(p-1)),其中C=(p-1)/[a(p-1)+1],(t,x)∈(-∞,0)×R^(n),且函数Φ满足常微分方程Φ_(t)=(-t)^(a(p-1)|Φ|p-1)Φ,对φ加以一系列假设,使得当t→0^(-)时,‖Φ‖L^(2)(R)^(n)→∞;第三,利用能量方法及已知不等式对误差项进行估计;第四,利用紧致性理论找到了一个逼近近似解Φ的解析解,利用对近似解的估计证明最终的爆破结果.

具有能量临界增长的非线性薛定谔方程驻波的存在性

提出一类具有能量临界增长的非线性薛定谔方程,满足非线性项均为聚焦状态。通过解决一个在给定的条件下变分问题,得到该类方程基态驻波解的存在性。结果表明,当空间维数大于4时,基态驻波解对于所有的正频率都是存在的。

基于二维广义非线性薛定谔方程的逆级联现象

在外部势场和初始空间局部有限振幅脉冲给定的情况下,基于二维广义非线性薛定谔方程i∂_(t)E+p▽^(2)E+[V(x,y)+q|E|^(2)]E=0,研究了波的不稳定性随时间的演化。波的不稳定性演化主要依赖于方程里的群色散系数p=p_(r)+ip_(i)和非线性系数q=q_(r)+iq_(i),数值结果发现系统会出现调制不稳定性、波坍缩、逆级联以及整个空间的湍流态。当p=3.5+0.5i,q=q_(r)+iq_(i)时,数值结果发现系统在出现部分逆级联之后波场的能量主要聚集在波矢量k空间中半径|k|≥100的短波区域,同时形成了以区域中心为圆心,半径|k|≈100的圆形相对稳定区域。当粘性阻尼系数p_(i)在[0.1,1.0]时,数值结果发现产生逆级联的部分区域随着p_(i)(<1.1)的不断增大而逐渐缩小,相对稳定的圆域半径从零开始逐渐增大。因此,粘性系数p_(i)相当于系统中的一个调节开关,调整它在一定范围(p_(i)≤1)的取值可以控制逆级联的进程与最终结果。

浅水波方程模型与奇非线性行波方程解的动力学行为及精确的参数表示:动力系统方法

首先,介绍在重力作用下,无旋、无黏性和不可压缩的流体的表面波传播的一维(或两维单向)浅水波运动的各种不同模型(PDE),这些模型对应的行波系统一般是奇平面动力系统.其次,用著名的广义Camassa-Holm方程作为例子,通过对应的行波系统的精确解来研究该方程的尖孤子、周期尖波、伪尖孤子、伪周期尖波及有界破缺波解的存在性.第三,应用动力系统分支理论和奇摄动几何理论相结合的方法,建立了奇非线性行波方程研究的理论和方法,介绍奇非线性行波动力学行为的2个主要定理,完整地解决了波的光滑性与非光滑性、完整性和破缺性的判定问题.第四,介绍当伴随正则系统直线解上的奇点是结点时,如何用相轨道识别对应的波形,并研究一个非线性水波方程,获得该系统的各型光滑的孤立波和周期波在不同参数条件下的存在性和精确的参数表示.

孤立子与可积系统辅助求解高阶非线性薛定谔方程的可行性分析

文章选择变系数非线性耦合薛定谔方程作为高阶非线性薛定谔方程样例,通过达布变换求解常数系非线性耦合薛定谔方程.最后比较光超格子势阱等势阱作用下,VCNLS方程组解的动力学行为.研究表明,参数d值、h值的变化,将会引起VCNLS方程组中的亮亮孤立子解、亮暗孤立子解、怪波解的变化;势阱作用下,同一个解出现周期性变化,且形状与运动轨迹均出现变化,表明孤立子与可积系统辅助求解高阶非线性薛定谔方程具备可行性.

一个非线性Gross-Pitaevskii方程的行波解

本文主要讨论一个非线性Gross-Pitaevskii方程在一维情形下的行波解,我们的目的就是对局部相互作用提供一些条件,从而得到存在这样的一组行波解。我们的结论主要通过证明能量泛函在具有固定的动量时有最小值,该过程中主要运用集中紧性原理和一致先验估计。

耦合饱和非线性薛定谔方程的多极矢量孤子

本文构造了耦合自散焦饱和非线性薛定谔方程,通过改变势函数参数再利用功率守恒的平方算符法,得到偶极-偶极、三极-偶极以及偶极-三极矢量孤子解.随着孤子功率的增大,这3类矢量孤子均能存在,它们的存在性明显受到势函数的调制.本文给出了3类矢量孤子由势函数调制的存在区域.3类矢量孤子的稳定区域受每个分量的孤子功率调制.随着两分量孤子功率的增大,3类矢量孤子的稳定域均逐渐扩大.当饱和非线性强度增大时,三极-偶极和偶极-三极矢量孤子由稳定状态到不稳定状态临界点对应的孤子功率值逐渐降低.而偶极-偶极矢量孤子由稳定状态到不稳定状态临界点对应的孤子功率值并不会因为饱和非线性强度增大而变化.

一类带幂型非线性薛定谔方程组的爆破准则

研究了一类带幂型非线性薛定谔方程组解的爆破问题。通过应用局部维里等式和几乎有限传播速度,证明了当空间维数n≥3且能量E(u_(0),v_(0))<0时,方程组的解(u,v)发生有限时刻或无穷时刻爆破。

具有高阶色散和立方-五次非线性项的薛定谔方程的孤立波的保持性

研究了具有高阶色散项和立方-五次非线性项的薛定谔方程(NLSE)在扰动下孤立波解的保持性。通过行波变换将NLSE转化为平面动力系统,由Melnikov方法得到混沌阈值,通过分岔图、最大Lyapunov指数和Poincaré截面图验证了该系统存在Smale马蹄意义下的混沌,从而在参数选择时规避该区域来获得孤立波的保持区域。

具有非零边界条件的混合Chen-Lee-Liu导数非线性薛定谔方程的单极解和双极解

该文研究在无穷远处具有非零边界条件的混合Chen-Lee-Liu导数非线性薛定谔方程的单极解和双极解.通过求解直散射问题,得到了Jost解和散射矩阵,并给出了它们的对称性和渐近性.然后,利用矩阵Riemann-Hilbert方法求解逆散射问题.此外,还得到了解析散射系数的迹公式和θ条件.最后,得到了该方程的单极解和双极解的显式表达式.