全局分析的广义胞映射图论方法

应用广义胞映射理论的离散连续状态空间为胞状态空间的基本概念，依循Ｈｓｕ的将偏序集和图论理论引入广义胞映射的思想，以集论和图论理论为基础，提出了进行非线性动力系统全局分析的广义胞映射图论方法．在胞状态空间上，定义二元关系，建立了广义胞映射动力系统与图的对应关系，给出了自循环胞集和永久自循环胞集存在判别定理的证明，这样可借助国论的理论和算法来确定动力系统的全局性质．应用图的压缩方法，对所有的自循环胞集压缩后，在全局瞬态分析计算中瞬态胞的总数目得到有效地减少，并能借助于图的算法有效地实现全局瞬态的拓扑排序．在整个定性性质的分析计算中，仅采用布尔运算．

用广义胞映射研究参数不确定的多吸引子共存系统

本文运用广义胞映射对具有参数不确定的多吸引子共存系统进行了分析，指出了参数不确定性对多吸引子共存系统全局特性的影响·并进一步得到可以通过各个吸引子的保护层厚度大小的比较，来判断随着不确定程度的增加，哪一个吸引子将要首先消失·

基于度分析的广义胞映射分析方法

非线性动力系统因为其自身特点而难于分析.广义胞映射通过将连续空间与连续映射离散化的手段,成为一种有力的非线性动力系统的分析工具.然而其分析算法存在着结果精确性差、算法步骤复杂且效率低下等缺陷,因此限制了该算法在高精度、大规模分析下的应用.本文在提出胞的度等概念的基础上,通过度分析方法得出不同类胞的度特征,从而以胞的类作为研究对象,提出了高效率、高精度的广义胞映射分析方法.

Duffing系统随机分岔的全局分析

应用广义胞映射方法研究了在谐和与随机噪声联合作用下的Duffing系统的随机分岔现象。对于随机Duffing系统,以吸引子形态的突然变化,描述一类随机分岔现象。数值结果表明,随着随机激励强度的逐渐增大,当随机激励强度通过临界值时,随机系统的吸引子与其吸引域边界(吸引域)上的鞍碰撞,发生分岔现象。比较结果表明,在同样的参数区域内,Lyapunov指数均为负值,也就是说,在Lyapunov指数意义下,无法发现这种随机分岔现象。

Duffing-van der Pol系统的随机分岔

应用广义胞映射图论方法(GCMD)研究了在谐和激励与随机噪声共同作用下的Duffing-Van der Pol 系统的随机分岔现象．系统参数选择在多个吸引子与混沌鞍共存的范围内．研究发现,随着随机激励强度的增大,该系统存在两种分岔现象:一种为随机吸引子与吸引域边界上的鞍碰撞,此时随机吸引子突然消失;另一种为随机吸引子与吸引域内部的鞍碰撞,此时随机吸引子突然增大．研究证实,当随机激励强度达到某一临界值时,该系统还会发生D-分岔(基于Lyapunov指数符号的改变而定义),此类分岔点不同于上述基于系统拓扑性质改变所得的分岔点．

非线性强迫Mathieu方程的激变和瞬态混沌

应用广义胞映射图论（ＧＣＭＤ）方法研究了非线性强迫Ｍａｔｈｉｅｕ方程的激变、瞬态混 沌、以及随系统参数变化的全局分岔特性．揭示了参数激励常微分系统混沌吸引子的边界激变 是由于混沌吸引子与其吸引域边界上的不稳定周期轨道发生碰撞而产生的，发现了边界激变产 生的瞬态混沌，在Ｐｏｉｎｃａｒé截面上直观地表明了瞬态混沌的几何空间结构，以及瞬态混沌的空 间结构随着系统参数逐渐远离激变临界值的衰变．给出了对自循环胞集进行局部细化的方法．

SD振子中内部激变现象的研究

应用广义胞映射图论方法(GCMD)研究SD(smooth and discontinuous systems)振子的内部激变现象.通过对SD常微分方程系统的全局分析发现周期解通向混沌的内部激变现象是由于周期吸引子与在其吸引域内部的混沌鞍碰撞产生的.混沌鞍是胞空间中的瞬态自循环胞集,周期吸引子与混沌鞍发生碰撞后,混沌鞍转化为混沌吸引子新增的一部分;内部激变不会改变原来吸引域的形状且具有可逆性和对扰动的不敏感性.同时改进广义胞映射图论方法,提出盒子维数的广义胞映射图论方法的近似计算方法.

Wada分形吸引域边界上的混沌鞍

应用广义胞映射图论（Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｃｅｌｌ Ｍａｐｐｉｎｇ Ｄｉｇｒａｐｈ）方法，数值地研究Ｔｈｏｍｐｓｏｎ的逃逸方程在最佳逃逸点附近的分岔．发现了嵌入在Ｗａｄａ分形吸引域边界上的混沌鞍，混沌鞍是状态空间不稳定（非吸引）的混沌不变集合，Ｗａｄａ分形吸引域边界是具有Ｗａｄａ性质的边界，即吸引域边界上的任意点也同时是至少两个其它吸引域的边界点，称为Ｗａｄａ 域边界．我们证明Ｗａｄａ 域边界上的混沌鞍导致局部鞍结分岔具有全局不确定性结局，研究了Ｗａｄａ域边界上混沌鞍的形成与演化，证明最终的逃逸分岔是混沌吸引子碰撞混沌鞍的边界激变．

数据驱动印度洋海域全局动力学研究

海洋洋流运动非常复杂,研究其内在规律能为海上搜救、污染物扩散预测和海运航线设计提供科学依据.本文将基于空间离散思路的广义胞映射方法应用于数据驱动的海洋系统全局动力学分析中,研究印度洋海域的长期和短期内在动态结构及其特性.文中考虑到印度洋海域典型季风气候等因素的影响,利用1979—2019年该区域浮漂历史数据,建立不同时间尺度(天、季节或年度)下表征系统状态演化的一步转移概率矩阵,并以此形成以胞刻画的海洋系统数据驱动动力学模型.通过拓扑分析,实现对印度洋海域洋流长短期动态全局吸引性结构(涡漩中心)及其影响区域(涡旋区)的表征.对比分析显示,浮漂样本的实际观察与预测的响应分布和演化特征高度吻合,从而验证所提方法和结果的有效性和正确性.研究结果表明:大约在南纬20°~40°,东经40°~96°范围内可形成明显的长期大范围的稳定涡旋区域,导致大部分表面漂浮物动态聚集在该区域,而南纬40°以南和赤道附近则表现为海洋表面流动的排斥性.同时,海洋系统中的短期动态涡旋结构主导了表面漂浮物的瞬态路径和趋势,在2014年3月8日—14日期间形成南印度洋洋流的逆时针环流特点.

含指数积分型阻尼和周期激励系统的稳态随机响应分析

运用基于短时高斯逼近的广义胞映射方法,研究了含指数积分型非粘性阻尼和周期激励系统在高斯白噪声作用下的稳态响应.首先介绍了方法的实施过程,并推导了系统的矩方程.然后给出了系统的稳态概率密度函数,分析了阻尼系数和松弛参数对稳态响应的影响,并通过直接Monte Carlo模拟的结果验证了广义胞映射方法的有效性.

宽带随机激励下单自由度双边非对称碰撞振动系统的稳态响应

本文以一类单自由度双边非对称碰撞振动系统为研究对象,采用广义Hertz接触模型表示碰撞过程,考察系统在宽带随机激励下的稳态响应.应用基于广义谐和函数的随机平均法推导出系统在宽带随机外激励下的伊藤随机微分方程,通过求解相应的稳态FPK方程,得到系统关于幅值、能量和位移的稳态概率密度以及位移与速度的联合稳态概率密度.另外,将系统的随机响应近似为马尔可夫过程,利用广义胞映射法得到系统的近似稳态响应.最后通过与蒙特卡罗模拟结果的对比,验证了随机平均法和广义胞映射法的有效性.

两个周期激励下Duffing-van der Pol系统的混沌瞬态和广义激变

运用广义胞映射图方法研究两个周期激励作用下Duffing-van der Pol系统的全局特性.发现了系统的混沌瞬态以及两种不同形式的瞬态边界激变,揭示了吸引域和边界不连续变化的原因.瞬态边界激变是由吸引域内部或边界上的混沌鞍和分形边界上周期鞍的稳定流形碰撞产生.第一种瞬态边界激变导致吸引域突然变小,吸引域边界突然变大;第二种瞬态边界激变使两个不同的吸引域边界合并成一体.此外,在瞬态合并激变中两个混沌鞍发生合并,最后系统的混沌瞬态在内部激变中消失.这些广义激变现象对混沌瞬态的研究具有重要意义.

非高斯色噪声下Duffing-Van der Pol振子概率响应的全局分析

本文基于短时高斯逼近的胞映射方法,研究了非高斯色噪声激励下的Duffing-Van der Pol振子的瞬态和稳态响应演化过程。研究发现,乘性非高斯色噪声下的瞬态概率密度函数峰的位置主要集中在一个吸引子附近,非高斯噪声偏差参数在小范围内影响着系统的稳态响应,且随着噪声强度或相关时间的变化,系统的稳态概率密度函数峰值有明显变化。此外,扩展胞映射方法的结果与蒙特卡洛模拟结果的吻合,验证了方法在非高斯色噪声情形下的有效性。

Duffing-van der Pol振子随机分岔的全局分析

应用广义胞映射方法研究了参激和外激共同作用的Duffing vanderPol振子的随机分岔 .以系统参数通过某一临界值时 ,如果系统的随机吸引子或随机鞍的形态发生突然变化 ,则认为系统发生随机分岔为定义 ,分析了参激强度和外激强度的变化对于随机分岔的影响 .揭示了随机分岔的发生主要是由于系统的随机吸引子与系统的随机鞍碰撞产生的 .分析表明 ,广义胞映射方法是分析随机分岔的有力工具 。

一类新的边界激变现象:混沌的边界激变

混沌吸引子的激变是一类普遍现象 .借助于广义胞映射图论 (generalizedcellmappingdigraph)方法发现了嵌入在分形吸引域边界内的混沌鞍 ,这个混沌鞍由于碰撞混沌吸引子导致混沌吸引子完全突然消失 ,是一类新的边界激变现象 ,称为混沌的边界激变 .可以证明混沌的边界激变是由于混沌吸引子与分形吸引域边界上的混沌鞍相碰撞产生的 ,在这种情况下 ,当系统参数通过激变临界值时 ,混沌吸引子连同它的吸引域突然消失 。

两参量平面上双重激变尖点研究

应用广义胞映射图论 (GCMD)方法 ,研究两参量正弦强迫振子的双重激变现象 ,确定了两参量平面上的双重激变尖点 ,在这个尖点上两条边界激变曲线和两条内部激变曲线相汇交 ,四种不同的激变重合 .物理上 ,在这样一个尖点附近的参量扰动 (噪声 )导致动力学行为戏剧性变化 .

加性和乘性泊松白噪声联合激励下光滑非连续振子的随机响应

利用广义胞映射方法,研究了加性和乘性泊松白噪声联合作用下SD振子(smooth and discontinuous oscillator)的随机响应问题.基于图分析算法,获得确定SD振子的吸引子、吸引域、域边界、鞍和不变流形等全局特性.基于矩阵分析算法,计算了SD振子在泊松白噪声激励下的瞬态和稳态响应.结果表明:随机响应的概率密度函数演化方向和确定情况下的不稳定流形形状之间存在密切联系.蒙特卡罗模拟结果表明,所使用的方法是有效且准确的.