基于二维广义非线性薛定谔方程的逆级联现象

在外部势场和初始空间局部有限振幅脉冲给定的情况下,基于二维广义非线性薛定谔方程i∂_(t)E+p▽^(2)E+[V(x,y)+q|E|^(2)]E=0,研究了波的不稳定性随时间的演化。波的不稳定性演化主要依赖于方程里的群色散系数p=p_(r)+ip_(i)和非线性系数q=q_(r)+iq_(i),数值结果发现系统会出现调制不稳定性、波坍缩、逆级联以及整个空间的湍流态。当p=3.5+0.5i,q=q_(r)+iq_(i)时,数值结果发现系统在出现部分逆级联之后波场的能量主要聚集在波矢量k空间中半径|k|≥100的短波区域,同时形成了以区域中心为圆心,半径|k|≈100的圆形相对稳定区域。当粘性阻尼系数p_(i)在[0.1,1.0]时,数值结果发现产生逆级联的部分区域随着p_(i)(<1.1)的不断增大而逐渐缩小,相对稳定的圆域半径从零开始逐渐增大。因此,粘性系数p_(i)相当于系统中的一个调节开关,调整它在一定范围(p_(i)≤1)的取值可以控制逆级联的进程与最终结果。

广义非线性薛定谔方程的新精确行波解

利用符号运算方法研究了变系数薛定谔方程,对方程进行行波变换转化为常微分方程,分离实部和虚部并分别令为零,利用符号运算方法进行求解,获得了一系列带参数的精确行波通解,其中包括钟形孤子解,三角函数解,有理函数解,扭曲孤子解和Jacobi椭圆函数解。

广义非线性薛定谔方程描述的波坍缩及其演变

介绍了广义非线性薛定谔方程,并且运用分步傅里叶方法进行了数值求解.在外部势场一定的情况下,给定系统一个小的初始扰动,讨论了广义非线性薛定谔方程中复系数p,q对波场演变过程的影响.通过数值研究发现波场会相继出现调制不稳定性、波坍缩、逆级联以及整个空间的湍流现象.而当改变非线性频移系数的量级时,数值研究发现在波坍缩之后出现了逆级联,最终系统的能量主要凝聚在3个不同波矢终端的附近区域.

广义五阶非线性薛定谔方程的怪波与呼吸子的复合波解

基于规范变换,为广义五阶非线性薛定谔方程建立达布变换。应用达布变换的可迭代性质,获得该方程的N重达布变换。把广义五阶非线性薛定谔方程Lax对的两组特解代入二重和三重达布变换中,获得该方程的怪波与呼吸子的复合波解。研究表明怪波和呼吸子可以在复合波解中独立存在。

一类非线性系统的广义伴随线性方程分析研究

非线性输出频率响应函数是线性系统理论中频率响应函数在非线性系统中的一种推广,越来越多的学者已将其应用在结构损伤检测及故障诊断中.基于Volterra级数理论与由非线性微分方程描述的单输入单输出非线性系统的广义频率响应函数递归计算公式,利用多重积分性质和多维傅里叶变换,将广义频率响应函数映射到了一维频域中,推导出了一类非线性系统的广义伴随线性方程计算公式.研究表明,这类系统的第n阶非线性输出响应是以系统输入激励和前n-1阶非线性输出响应的组合函数作为广义激励作用到系统各阶广义伴随线性方程中的输出响应,最后通过求解一系列线性微分方程可得到这类非线性系统的任意阶非线性输出响应,其结果弥补了伴随线性方程无法求解这类非线性系统的不足.同时,针对广义伴随线性方程的数值计算问题,论文提出了一种耦合计算法,提高了计算非线性输出响应的精度,为非线性输出频率响应函数的计算提供了一种新思路.最后利用广义伴随线性方程与线性算子理论研究了两种典型非线性系统中非线性现象产生的原因,研究结果为非线性系统的分析与设计提供了一种有效途径.

基于修正非线性薛定谔方程的三维聚焦波组波谱演化

为了研究深水三维聚焦波的定向演化,对4阶修正非线性薛定谔方程(MNLSE)、3阶非线性项薛定谔方程(NLSE)以及线性方程等3种演化模型进行数值求解,并对生成的波谱特征以及其演化过程中的能量转移、波陡变化、平均波数变化以及带宽变化等特征进行对比研究。研究结果表明:在2种非线性演化模型的演化过程中均存在能量向高波数和低波数的转移,导致波浪波形发生变化,且非线性还会影响聚焦波陡、聚焦波组达到聚焦所需时间以及带宽等参数的变化;上述特征在2种非线性演化模型中存在着显著差异,4阶MNLSE演化下的三维聚焦波组特征优于3阶NLSE的演化。

α-螺旋蛋白中三分量高阶非线性薛定谔方程的怪波解

以三分量高阶非线性薛定谔方程为α-螺旋蛋白中生物能量沿蛋白质分子链传输的控制方程,研究三个相互耦合的波函数在极限状态下激发的怪波.基于控制模型的Lax对表示,利用规范变换得到了达布变换的行列式形式.通过Lax对的变量分离和平移参数的引入,给出了怪波激发的代数条件.进一步利用幂级数的多项分裂构造怪波解的基础特征函数,并由此导出退化的达布变换.最后通过退化的达布变换获得怪波解,并在不同参数下,用三维图形示例怪波的波形演化及其极值轨迹.

(3+1)维广义非线性发展方程的双线性Backlund变换与精确解

基于Hirota双线性方法和试探函数法,研究一个(3+1)维广义非线性发展方程的双线性Backlund变换和精确解问题。用Hirota双线性法,构造(3+1)维广义非线性发展方程的双线性形式和双线性Backlund变换。基于双线性形式和双线性Backlund变换,利用试探函数法与符号计算系统Mathematica,获得(3+1)维广义非线性发展方程的多种精确解,包括呼吸波解、复合型解、Lump周期解和孤子解,并分析解的相互作用情况。

利用齐次平衡法求解高阶非线性薛定谔方程

利用相似约化法将高阶非线性薛定谔方程转化为高阶常微分方程组,运用齐次平衡法求解高阶常微分方程组,获得了高阶非线性薛定谔方程的双曲-sech和tanh形式的孤子解,并且对所获得的解的代数结构展开讨论,给出相应三种解的图像.

幂次型非线性薛定谔方程解的长时间性态

研究在R^(2)上幂次型非线性薛定谔方程{iu_(t)+1/2△u=λ|u|^(a)u,u(1,x)=φ(x),当0<α<1且λ∈R时,如果初值充分小,则方程存在唯一的整体解,并且当√5-1/2<a<1时,方程具有改善型散射态.

带有PT对称势的非线性薛定谔方程的两类反问题

本文对带有PT对称势三阶五阶幂律非线性薛定谔方程提出了关于参数和势函数反演的两类反问题。对于参数反演问题,我们分别采用PINNs (Physics Informed Neural Networks)和传统的结合有限差分法与优化算法求解的方法进行比较。计算结果显示,在求解反问题时,传统方法每步参数优化需要数值求解非线性薛定谔方程,计算量较大。而PINNs的方法无需重复求解薛定谔方程,计算效率更高。对于PT对称势函数反演问题,通过在PINNs中嵌入自适应基函数,从而反演得到PT对称势。数值实验显示PINNs在算法计算反问题效率上优于传统微分数值求解和优化相结合的方法。

非线性薛定谔方程解的同伦分析

同伦分析法是一种求解非线性演化方程的有效方法,本文研究了非线性薛定谔方程的同伦分析解。通过将方程化为耦合的方程组,给出了具有高次非线性和高阶色散的非线性薛定谔方程的孤子解和周期解,研究可给类似问题的求解提供有益思路。

一类非线性薛定谔方程的涡环解

本文考虑一类非线性薛定谔方程的涡环解.特别地,对二维非线性薛定谔方程,当径向磁场,电场满足恰当的符号条件时,证明了其存在任意指定的零点个数的非径向解,并且该解在无穷远处指数衰减.特别地,库伦位势,反平方位势,阶梯形位势等经典物理情形满足本文的条件.为了证明主要结果,除了使用靶向法处理约化的常微分方程外,本文主要引进了一个新的Pohozaev恒等式和辅助泛函,以及若干恰当函数变换.

一类非线性薛定谔方程解的爆破

考虑非线性薛定谔方程i∂_(t)u=-Δu+i(-t)^(a(p-1))|u|^(p-1)u,这里p>1,满足(n-2)(p-1)≤4,a≥0是已知实数,(t,x)∈(-∞,0)×R^(n),u=u(t,x)是未知的复值函数.第一,证明了反向方程解的整体适定性;第二,构造了所研究方程的一个近似解,主要想法是构造一个显函数Ф(t,x)=(C(-t)^(a(p-1)+1)+φ(x))^(1/(p-1)),其中C=(p-1)/[a(p-1)+1],(t,x)∈(-∞,0)×R^(n),且函数Φ满足常微分方程Φ_(t)=(-t)^(a(p-1)|Φ|p-1)Φ,对φ加以一系列假设,使得当t→0^(-)时,‖Φ‖L^(2)(R)^(n)→∞;第三,利用能量方法及已知不等式对误差项进行估计;第四,利用紧致性理论找到了一个逼近近似解Φ的解析解,利用对近似解的估计证明最终的爆破结果.

具有能量临界增长的非线性薛定谔方程驻波的存在性

提出一类具有能量临界增长的非线性薛定谔方程,满足非线性项均为聚焦状态。通过解决一个在给定的条件下变分问题,得到该类方程基态驻波解的存在性。结果表明,当空间维数大于4时,基态驻波解对于所有的正频率都是存在的。

浅水波方程模型与奇非线性行波方程解的动力学行为及精确的参数表示:动力系统方法

首先,介绍在重力作用下,无旋、无黏性和不可压缩的流体的表面波传播的一维(或两维单向)浅水波运动的各种不同模型(PDE),这些模型对应的行波系统一般是奇平面动力系统.其次,用著名的广义Camassa-Holm方程作为例子,通过对应的行波系统的精确解来研究该方程的尖孤子、周期尖波、伪尖孤子、伪周期尖波及有界破缺波解的存在性.第三,应用动力系统分支理论和奇摄动几何理论相结合的方法,建立了奇非线性行波方程研究的理论和方法,介绍奇非线性行波动力学行为的2个主要定理,完整地解决了波的光滑性与非光滑性、完整性和破缺性的判定问题.第四,介绍当伴随正则系统直线解上的奇点是结点时,如何用相轨道识别对应的波形,并研究一个非线性水波方程,获得该系统的各型光滑的孤立波和周期波在不同参数条件下的存在性和精确的参数表示.

分步傅里叶法求解广义非线性薛定谔方程的改进及精度分析

利用分步傅里叶算法求解广义非线性薛定谔方程时对非线性项的处理往往采取了较多的数值近似,而且需要特别小心选择空间和时间的步长以及窗口尺寸,以保证精度要求.以描述光子晶体光纤中超连续谱产生的广义非线性薛定谔方程为例,利用分步傅里叶方法求解时对非线性项直接采用积分处理,而不采取任何数学近似,数值计算时又将积分变成卷积利用傅里叶变换求解,从而方便而又精确地完成了非线性项的计算.整个过程没有任何人为的近似,从而保证了计算模型的精确度.同时,还对因步长选择引起的计算精度进行了分析,提出了从频谱图上判断空间、时间步长选取合理性,从时域图上判断时间窗口合理性的方法,从而为广义非线性薛定谔方程求解过程中的步长选择等问题提供了直观参考标准.

耦合广义非线性薛定谔方程的相互作用表象龙格库塔算法及其误差分析

本文通过表象变换,将耦合广义非线性薛定谔方程(C-GNLSE)变换成相互作用表象中的向量方程,再利用向量形式的4阶龙格-库塔迭代格式,建立了一种在频域内求解C-GNLSE的同步更新迭代算法.通过将该向量形式的相互作用表象中的4阶龙格-库塔(V-JH-RK4IP)算法应用于高双折射光子晶体光纤中超连续谱产生的数值模拟,验证了算法的有效性,通过与现有其他典型算法的比较,表明以V-JH-RK4IP算法求解C-GNLSE具有最高的计算精度和计算效率.

一个非线性Gross-Pitaevskii方程的行波解

本文主要讨论一个非线性Gross-Pitaevskii方程在一维情形下的行波解,我们的目的就是对局部相互作用提供一些条件,从而得到存在这样的一组行波解。我们的结论主要通过证明能量泛函在具有固定的动量时有最小值,该过程中主要运用集中紧性原理和一致先验估计。

耦合饱和非线性薛定谔方程的多极矢量孤子

本文构造了耦合自散焦饱和非线性薛定谔方程,通过改变势函数参数再利用功率守恒的平方算符法,得到偶极-偶极、三极-偶极以及偶极-三极矢量孤子解.随着孤子功率的增大,这3类矢量孤子均能存在,它们的存在性明显受到势函数的调制.本文给出了3类矢量孤子由势函数调制的存在区域.3类矢量孤子的稳定区域受每个分量的孤子功率调制.随着两分量孤子功率的增大,3类矢量孤子的稳定域均逐渐扩大.当饱和非线性强度增大时,三极-偶极和偶极-三极矢量孤子由稳定状态到不稳定状态临界点对应的孤子功率值逐渐降低.而偶极-偶极矢量孤子由稳定状态到不稳定状态临界点对应的孤子功率值并不会因为饱和非线性强度增大而变化.