与广义Euler函数φ2（n）有关的两个方程

讨论了与广义Euler函数φ2(n)有关的两个方程φ2(x-φ2(x))=2与φ2(φ2(x-φ2(x)))=2的可解性,利用初等的方法给出了方程φ2(x-φ2(x))=2所有的5个整数解,方程φ2(φ2(x-φ2(x)))=2所有的26个整数解.

包含广义Euler函数φ3（n）和Smarandache函数S（n）的一方程的解

令φe(n)为广义Euler函数,S(n)为Smarandache函数,其中e为正整数。探讨包含广义Euler函数φ3(n)和Smarandache函数S(n)的方程φ3(n)=S(n8)的可解性问题,利用这2个数论函数的有关性质,给出了这一方程在φ3(n)=3-1φ(n)条件下无正整数解的结论。

Euler函数与广义Euler函数混合的几个方程的解

讨论了几个有关Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ2(n)的二元定系数方程φ(xy)=k(φ2(x)+φ2(y))与二元变系数方程φ(xy)=k 1φ2(x)+k 2φ2(y)解的问题,结合Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ2(n)的性质,利用初等方法给出了所讨论的几个方程的解的情况.

数论函数方程(φ_(2)(n))^(2)=S(SL(n^(k)))的正整数解

设n是正整数,利用初等数论的方法和广义Euler函数φ_(2)(n)、Smarandache函数S(n)、Smarandache LCM函数SL(n)这3个函数的基本性质,讨论当k=2,5时数论函数方程(φ_(2)(n))^(2)=S(SL(n^(k)))的可解性,并给出了这2个方程相应的所有正整数解。研究结果丰富了数论函数方程的研究内容。

数论函数方程kφ(n)=11φ_(2)(n)+S(SL(n^(37)))的正整数解

利用Euler函数φ(n)、广义Euler函数φ_(2)(n)、Smarandache LCM函数SL(n)和Smarandache函数S(n)的性质,并结合初等数论的方法,讨论了数论函数方程kφ(n)=11φ_(2)(n)+S(SL(n^(37)))的可解性,证明了该方程只有k=1,6,7,15,31,46,51时有正整数解,并给出了它的所有正整数解。研究结果丰富了数论函数方程可解性的内容。

数论函数方程tφ_(2)(n(n+1))=S(SL(n^(17)))的可解性

利用初等数论的方法和数论函数的性质研究了数论函数方程tφ_(2)(n(n+1))=S(SL(n^(17)))的可解性问题,其中t∈Z^(+)(Z^(+)是正整数集),φ_(2)(n)为广义Euler函数,SL(n)为Smarandache LCM函数,S(n)为Smarandache函数,得到如下结果:方程tφ_(2)(n(n+1))=S(SL(n^(17)))只在t=1,6,9,18,20时有正整数解,并给出了相应的正整数解。该计算方法有助于解决同类型方程的可解性问题。

数论函数方程kφ(n)=7φ_(2)(n)+S(n^(13))的正整数解

对于正整数n,数论函数φ(n),φe(n)和S(n)分别为Euler函数、广义Euler函数和Smarandache函数.讨论了包含φ(n),φe(n)和S(n)三个数论函数的方程kφ(n)=7φ_(2)(n)+S(n13)的可解性,基于这三个数论函数方程的性质,用初等方法证明了该数论函数方程只在k=1,4,5,6,7,8,9,11,14,17,23时有正整数解,并给出了具体的正整数解.

关于方程SL(n)=φe(n)的可解性

文章讨论数论函数方程SL(n)=φe(n)(e=2,3)的可解性。利用初等方法与Smarandache LCM函数SL(n)、广义欧拉函数φe(n)的定义与计算公式,解决方程SL(n)=φe(n)(e=2,3)的可解问题,最终得到这2个方程无整数解。

关于方程S(n)=φ_(e)(SL(n))的正整数解

基于Smarandache函数S(n)、Smarandache LCM函数SL(n)以及广义欧拉函数φ_(e)(n)的定义以及计算公式,利用初等方法讨论了当e=1,2时方程S(n)=φ_(e)(SL(n))的可解性,并给出了方程S(n)=φ(SL(n))所有的11个正整数解,以及方程S(n)=φ2(SL(n))所有的62个正整数解.

数论函数方程mφ(n)=φ_(2)(n)+S(n^(10))的解

利用Euler函数φ(n)、广义Euler函数φ_(2)(n)与Smarandache函数S(n)的性质,结合初等方法讨论了数论函数方程mφ(n)=φ_(2)(n)+S(n^(10))的可解性。证明了该方程只在m=1、2、4、6、8、11、13时才有正整数解,并给出了其全部正整数解。

与两个数论函数有关的一个三元非线性方程的解

令φ(n)为Euler函数,φ_(e)(n)为广义Euler函数。基于Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_(e)(n)的性质,讨论与Euler函数φ(n)和广义Euler函数φ_(e)(n)有关的三元非线性方程φ(abc)=2_(φ_(2))(a)+3_(φ_(2))(b)+4_(φ_(2))(c)+7的可解性,利用初等方法得到该方程的所有52组正整数解。

广义Euler函数φ2（n）与Euler函数φ（n）混合的一方程

令函数φ（n）为Euler函数，函数φe（n）为广义Euler函数，讨论了方程φ2（φ（n））=φ（φ2（n））的可解性，利用初等的方法给出了其成立时正整数n的形式或者n需满足的条件．

广义Euler函数φ_7(N)的计算公式

定义φ_e(N)为广义Euler函数,其中N为一正整数.讨论了当e=7时φ_e(N)的准确计算公式问题,给出某些特殊类型正整数N的φ_7(N)的准确计算公式.

形如kφ(n)=φ_(2)(n)+S(n^(m))的两个方程的可解性

讨论包含Euler函数φ(n)、广义Euler函数φ_(2)(n)与Smarandache函数S(n)的2个方程的可解性,基于Euler函数φ(n),广义Euler函数φ_(2)(n)与Smarandache函数S(n)的性质及其各自的计算公式,利用初等的方法与Guass函数[n]的性质,得到方程3φ(n)=φ_(2)(n)+S(n^(30))无正整数解,以及方程2φ(n)=φ_(2)(n)+S(n^(28))仅有正整数解n=288,1083,1444,2166.

数论函数方程kφ(Y)=φ_(2)(Y)+S(Y^(8))的解

该文讨论了包含φ(n)、φe(n)与S(n)3个数论函数的方程kφ(Y)=φ_(2)(Y)+S(Y^(8))的可解性.利用这3个数论函数的性质,得到了该方程只在k=1、2、4、5、9、11时有正整数解,并给出了其具体的正整数解,其中函数φ(n)是Euler函数,函数φ_(e)(n)是广义Euler函数,函数S(n)是Smarandache函数.

有关方程φ(m1m2…mn)=kφ2(m1)φ2(m2)…φ2(mn)的解

讨论了方程φ(m1m2…mn)=kφ2(m1)φ2(m2)…φ2(mn)当n=2,3时的正整数解情况.基于Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ2(n)的有关性质,给出了n=2方程只在k=2,4,5,8,10,12时有正整数解的结论,并利用分类讨论和初等的方法给出当k取具体值时该方程的具体的正整数解或者正整数解的形式.同时也给出了当n=3时该方程有正整数解时的一些k值,以及相对应的正整数解的形式,这里的k∈N,N为正整数集合.

数论函数方程φ_(4)(X)=S(X^(6))的正整数解

讨论数论函数方程φ_(4)(X)=S(X^(6))的正整数解,通过初等方法得到结论:若φ_(4)(X)=1/4φ(X),该方程有正整数解X=275,405,480,550,648,810,845,1352,1690,2028;若φ_(4)(X)=1/4(φ(X)+2^(w(X))),当β≥2时,该方程无正整数解,其中X=q^(β)×Y,q是X的一个质因数,gcd (q,Y)=1。