Mathematica在以勒让德函数为基的广义Fourier级数展开中的应用

本文从广义Fourier级数展开教学着手研究,借助Mathematica的功能来实现以勒让德函数为基的广义Fourier级数的展开。将Mathematica应用于数学物理方法特殊函数以及广义傅里叶级数的教学中,可以使教学更加形象、生动,从而取得更加良好的教学效果。

函数展开为Fourier级数的变换方法

利用已知函数的Fourier级数展开式,通过函数的代数运算、自变量的线性变换等方法,间接地求出一些函数的Fourier级数展开式.

函数Fourier级数展开式的惟一性

证明了以2l为周期的可积函数若可展开成Fourier级数,则按其周期的不同倍数所展得的Fourier级数的形式必是惟一的.

关于广义Fourier级数的若干结论及其应用

讨论Hilbert空间广义Fourier级数收敛的充分和必要条件,并将相关结果应用于数学分析中具体的Fourier级数上.

非对称区间上函数的Fourier级数展开

非对称区间上的函数可用变量代换或补充定义函数值等两种方法展开成Ｆｏｕｒｉ－ｅｒ级数，将原函数化为对称区间上的函数，通过周期延拓，将其展开成Ｆｏｕｒｉｅｒ级数．非标准区间上函数的正弦级数和余弦级数可用类似的方法展开．由于定义域的不同，有时方法上会受到一定的限制，只能用第一种方法．

关于函数的Fourier级数系统展开方法

设f(x)在区间[a,b]上满足Dirichlet充分条件,则f(x)在[a,b]上既可以展开成正弦函数,也可以展开成余弦函数。

广义Ramanujan常数R(a,c-a)的级数展开

本文通过Ψ(x)的n阶导数,给出了广义Ramanujan常数R(a,c-a)=-2γ-Ψ(a)-Ψ(c-a)的不同类型的级数展开式,这些级数展开式可以改进R(a,c-a)的一些已知结果。

级数在求解定(广义)积分中的应用

将较为复杂的被积函数进行泰勒展开化为级数形式,再将求和与积分进行交换,进而求得积分结果.本文以几个典型的积分为例,展示了如上的技巧.

利用Fourier级数展开式计算一个连续无界函数的无穷积分

本文利用Fourier级数展开式得到了一个级数的和,进而又得到了其它级数的和,并利用这些结果计算了一个连续而无界函数的无穷积分,可作为一种方法进行推广。

计算索末菲尔德型积分的新方法——球面波级数展开法

利用广义阻抗边界条件模拟和简化地球表面对电磁场的影响。应用圆柱波函数的球面波展开表达式,地平面上方水平电偶极子电磁场中的索末菲尔德型积分可表达成快速、绝对收敛的球面波展开式,利用积分路径的变换和超几何函数理论,展开式中的展开系数可表达成以大地表面复阻抗为宗量的第二类勒让德函数。该展开式数学物理意义明显,并且十分便于数值计算,该文给出的方法是求解下索末菲尔德半空间问题的精确、有效解析方法。

考虑地基摩阻时Timoshenko梁弯曲的Fourier级数解答

假定纵向摩擦力与梁底面的纵向位移成正比,引入广义剪力,得到广义Winkler型地基上Timoshenko梁的位移型平衡方程。将位移及荷载展开为带附加项的Fourier级数,利用平衡方程和边界条件对弹性地基梁的一般弯曲进行分析。该解答退化后可用来研究传统的Winkler地基上Bernoulli-Euler梁的弯曲问题。分析表明,纵向摩擦力对梁的位移和内力均有影响。梁的最大挠度、转角、弯矩及剪力随着地基纵向摩擦力的增大而减小,而梁的轴向位移和轴力则随着地基纵向摩擦力的增大而增大。

动力基础系统的双曲线滞回模型及Fourier级数解

承受循环荷载作用的动力基础，由于土-结构的相互作用，其反力位移关系呈现2个显著特点，即非线性和滞回性。采用定参集总参数体系。以三次幂多项式模型反映动力地基的非线性特性，将非线性幂函数作为循环荷载作用下系统位移-力关系的主干骨线：在此基础上。按照Masing二倍法则，将骨线拓展为位移-力的滞回曲线，以此反映系统的滞回特性，从而建立了二次幂非线性粘性阻尼双曲线滞回动力基础系统的动力学模型。由于本构函数的复杂性，直接利用一般解法比较困难。采用Fourier级数展开法得到了系统的解析解，给出了动力基础的时间历程响应曲线和幅频特性曲线。并与摹础模型的实验数据进行了比较。分析结果表明，利用Fourier级数展开法求解滞回动力学非线性模型。精度高、收敛快，且与实验结果吻合较好。

关于Fourier级数的一点推广

以２ｌ为周期的函数ｆ（ｘ）也可看作周期为４ｌ．设ｆ（ｘ）满足 Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ充分条件，按［１］方法展开的以 ２ｌ为周期的 Ｆｏｕｒｉｅｒ 级数和以 ４ｌ为周期的 Ｆｏｕｒｉｅｒ 级数则对应于不同表达式．

单位圆周上广义Fourier积分的收敛性(英文)

本文研究了复平面单位圆上的广义Fourier积分.利用经典的Fourier分析的结果和Carleson定理,以及复平面上解析函数在高阶导数下直角坐标和极坐标之间的关系,我们得到了前面定义的广义Fourier积分的一个收敛定理.从而推广了直线上经典Fourier积分的收敛结果.

用Fourier级数求数项级数sum from n=1 to ∞ (1/n^p )(p为偶数)的和

数项级数是数值计算及表示函数的一个重要工具,在自然科学、工程技术中有着广泛的应用。数项级数和的求法有多种,但对于级数sum from n=1 to ∞(1/n^p)的求和问题却非常复杂,不过p为偶数时,用Fourier级数来求上述级数的和就比较简单了。所用的方法是通过将函数f(x)=z^k(-π≤x≤π)展开成Fourier级数,然后把一个特殊值代入到这个展开式中求得的。

关于Fourier级数理论中的几个问题

Fourier级数是函数项级数的重要组成部分,它不仅在理论上对研究函数有重要的意义,而且在解热传导、振动及扩散等问题中也有着广泛的应用.但初学者由于掌握不住其本质的东西常造成一些模糊认识.

广义奇偶函数的Fourier系数

本文推广了在[-π,π]上按段连续的奇(偶)函数的Fourier系数不含余(正)弦项的结论,因此本文的结果适用范围更广且运用更方便。

基于Fourier分析理论的数理方程研究

Fourier分析不仅在数学中有重要的理论价值,在求解弦振动方程等经典的数理方程时也有着广泛的应用,本文基于Fourier思想,在理想的弦自由振动方程基础之上,从源自实际的弦振动问题中抽象出数学模型,构建二阶线性齐次双曲型偏微分方程,依据设定的初始条件与边界条件,采用与Fourier级数展开关联较高的分离变数方法对定解问题进行分析与求解,并对其中假设的合理性、模型的优缺点及使用前景作了评估,说明其具有较好的实用性。本文以琵琶为例,不仅给出了单次拨弦后弦上质点的振动方程,还对模型中的物理量的测量方法及对应误差来源做了分析,其研究意义是可以利用此模型将演奏弦乐器的物理原理和音乐方面的研究成果进行结合,在根据已知公式的基础上,充分考虑振动频率等因素,转而研究弦乐器的演奏技巧问题,从而使得本文讨论的主题在物理与音乐的交叉学科上具有较高的研究价值。

Parseval定理在广义积分中的应用

本文从Fourier级数的展开式及Fourier变换两个角度出发,利用Parseval定理分别求解了在工程物理学及信号分析学中常用到的两类积分。这两类积分的求解,不仅给广义积分的求解提供了新的思路,而且丰富了Parseval定理的应用。

无穷级数和的几种求法

从级数和的定义、幂级数和函数的性质、常见函数的幂级数展开,以及Fourier级数理论等多种途径可以来求级数和函数。