广义Lebesgue-Nagell方程x^2-4p^(2r)=y^3

设p是奇素数,运用广义Ramanujan-Nagell方程的性质证明了方程x2-4p2r=y3有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y,r)的充要条件是p=3s2+4,其中s是大于1的奇数.当此条件成立时,该方程仅有正整数解(x,y,r)=(s3+12s,s2-4,1)适合gcd(x,y)=1.

广义Lebesgue-Ramanujan-Nagell方程研究的新进展

广义Lebesgue-Ramanujan-Nagell方程是数论中一类重要的Diophantine方程.本文介绍了此类方程的近期结果和尚未解决的问题.

广义Ramanujan-Nagell方程x^2＋D^m=p^n

设D是大于1的正整数,p是不能整除D的素数.本文证明了:当D=3a^2+1,p=4a^2+1,其中a是正整数时,除了(D,p)=(4,5)这一情况以外,方程x^2+D^m=p^n仅有2组正整数解(x,m,n)=(a,1,1)和(8a^3+3a,1,3).根据上述结果得到了该方程解数的最佳上界.

关于Diophantione方程x^m-x=y^n-y

设x,y,m,n是大于1的正整数,m<n.证明了当n是奇数,x是素数方幂时,方程xm-x=yn-y仅有解(x,y,m,n)=(3,2,2,3),(16,3,2,5),(13,3,3,7).