一个含参量积分例题的研究性学习和启示——引入Riemann-Liouville分数阶积分和导数的一种方法

本文将一个关于含参量积分的例题拓展成了针对学生的研究性学习课题.通过对这一例题的研究性学习,对整数阶微积分进行了推广,给出了Riemann-Liouville分数阶积分和导数的定义,并通过例题强化了学生对这一定义的认识,扩大了学生的知识视野.最后强调了研究性学习在数学分析教学中的重要性.

带有Riemann-Liouville分数阶导数的边值问题多正解的存在性(英文)

本文运用Avery-Peterson不动点定理研究以下分数阶边值问题Dα0+Dα0+u=f(t,u,u′,-Dα0+u,-Dα+10+u),t∈[0,1],u(0)=u′(0)=u′(1)=Dα0+u(0)=Dα+10+u(0)=Dα+10+u(1)={0至少三个正解的存在性,其中α∈(2,3]是一实数,Dα0+是α阶Riemann-Liouville分数阶导数.文章最后提供一个具体的例子来说明所得到的结论.

数字图像的0～1阶Riemann-Liouville分数阶微分增强模板

提出了一种数字图像的0～1阶分数阶微分增强模板。从Riemann-Liouville分数阶积分定义出发推导出0～1阶Riemann-Liouville分数阶微分方程及其离散化方程;构造了x轴负方向、x轴正方向、y轴负方向、y轴正方向、左下对角、左上对角、右下对角、右上对角8个相互中心对称方向的分数阶微分模板,并讨论了这8个方向分数阶微分模板的数值运算规则;讨论图像的熵和微分阶次之间的关系,并根据熵值最终确定使图像增强效果最好的微分阶次。实验表明能比较明显地增强图像的纹理和边缘细节,增强后的图像清晰度提高,图像视觉效果明显;对高斯平滑后的图像的增强效果也十分明显。

基于分数阶Riemann-Liouville积分的图像去噪

为了在获得更好去噪性能的同时更多地保留图像纹理信息,介绍了分数阶Riemann-Liouville(R-L)积分算子在信号滤波中的作用,将分数阶R-L积分理论引入到数字图像去噪中,并利用阶梯逼近方法来实现数值计算。模型通过设定微小的积分阶次来构建相应的图像去噪掩模,由此实现噪声图像的局部微调,并利用迭代的思想来控制模型的去噪强度,从而获得较好的图像去噪效果。实验结果表明,基于分数阶R-L积分的图像去噪算法较传统的去噪方法不仅可以提高图像的信噪比(SNR),所提出的算法去噪后图像的信噪比为18.3497 dB,较传统去噪方法最低也提升了大约4%,而且可以更好地保留图像的弱边缘和纹理等细节信息。

Riemann-Liouville型分数阶微分方程的微分变换方法

本文在Riemann-Liouville分数阶导数的广义Taylor公式的基础上,建立了求解Riemann-Liouville型分数阶微分方程的微分变换方法.本文所建立的基于Riemann-Liouville分数阶导数微分变换方法给求解Riemann-Liouville分数阶导数的微分方程提供了一种新工具。

Riemann-liouville分数导数以及Beta函数、Gauss级数的推广

旨在推广Riemann-liouville分数导数,将它与Beta函数、Gauss级数建立联系,从而建立相应的等式.

具有正负系数的分数阶微分方程非振动解的存在性

考虑了一类具有正负系数的分数阶中立型微分方程,利用Banach压缩映像原理获得了其一个新的非振动解的存在的充分条件.

基于时间分数阶扩散方程导数参数反演问题

研究时间分数阶扩散方程中分数导数阶的估计问题。首先,定义了一个带自然对数核的Caputo分数阶导数算子,推导出了时间分数阶扩散方程的分数阶导数所满足的方程,称之为时间分数阶扩散的伴随方程。其次,我们分别对两个方程进行时间离散构造有限差分格式和弱形式,再对弱形式中的半离散解进行Legendre多项式逼近得到全离散格式。然后,在源项已知这一情况下,我们利用序列最小优化法对分数阶导数进行了估计。最后,数值实验结果表明,推导出的伴随方程是正确的,迭代序列是收敛的。

分数阶微分方程的一些新结果(英文)

第一部分,介绍分数阶导数的定义和著名的Mittag-Leffler函数的性质.第二部分,利用单调迭代方法给出了具有2序列Riemann-Liouville分数阶导数微分方程初值问题解的存在性和唯一性.第三部分,利用上下解方法和Schauder不动点定理给出了具有2序列Riemann-Liouville分数阶导数微分方程周期边值问题解的存在性.第四部分,利用Leray-Schauder不动点定理和Banach压缩映像原理建立了具有n序列Riemann-Liouville分数阶导数微分方程初值问题解的存在性、唯一性和解对初值的连续依赖性.第五部分,利用锥上的不动点定理给出了具有Caputo分数阶导数微分方程边值问题,在超线性(次线性)条件下C^3[0,1]正解存在的充分必要条件.最后一部分,通过建立比较定理和利用单调迭代方法给出了具有Caputo分数阶导数脉冲微分方程周期边值问题最大解和最小解的存在性.

分数阶微分方程的比较定理

本文给出了非线性Riemann-Liouville分数阶微分方程和Caputo分数阶微分方程与相应的非线性Volterra积分方程的等价性,并在此基础上建立了分数阶微分方程的比较定理.

分数阶Bagley-Torvik方程的近似解

将泰勒展开法应用到分数阶Bagley-Torvik方程,同时把方程分数阶取值范围由(0,1)推广到(1,2),使此方程更接近实际背景。最后,验证了该方法的高效性。

分数阶反应-子扩散方程的高阶隐式差分格式及其稳定性分析

针对一类带初边值条件的分数阶反应-子扩散方程,构造了一种新的高阶隐式差分格式,其局部截断误差为O(τ1+γ+τγh4).并对格式的可解性做了分析.利用Fourier方法证明了格式的无条件稳定性.最后通过做数值算例去验证理论分析是有效可靠的.从所给的数值结果可以得出,该格式具有非常高的精度.

求解多项分数阶常微分方程的数值方法

本文考虑多项的分数阶常微分方程。证明了其解的存在性与唯一性;导出了多项的分数阶常微分方程的解;提出了三种数值解法来近似多项的分数阶常微分方程解。第一种方法,利用Diethelm等技巧;第二种方法,利用Caputo分数阶导数,Riemann-Liouville分数阶导数,分数阶导数之间的关系;第三种方法,把多项的分数阶常微分方程转化为分数阶微分方程组,然后利用分数阶预估-校正法。最后给出了一些实际应用例子。

基于分数阶微分的图像增强算法

相比传统的基于整数阶微分的图像增强算子,分数阶微分增强算子能提升图像的高频边缘信息,且非线性保留图像纹理细节和平滑区域的中低频信息。文中根据Riemann-Liouville分数阶微分定义,构造了5×5大小的分数阶微分增强算子模板,同时采用传统的整数阶图像增强算子Sobel算子、Prewitt算子和Laplacian算子,分别对灰度图像和彩色图像进行图像增强处理实验。最后,引入图像熵的计算,对图像增强的结果进行熵值大小的计算与分析。随着分数阶微分阶次的增加,分数阶微分增强算子处理后的图像熵值呈上升趋势,说明图像的纹理细节信息得到了加强。

分数阶时滞微分方程正解的存在性

研究了一类非线性分数阶时滞微分方程L(D)[x(t)-x(0)]=f(t,xt),x(t)=φ(t)≥0,0t∈<[t-≤r,T0],正解的存在性和惟一性.在f(t,.)非减的条件下,通过运用上下解的方法,获得了该方程正解存在的充分条件,并利用Banach不动点定理证明了该方程正解的惟一性.

一类Caputo-Hadamard型分数阶微分方程耦合系统边值问题

本文研究一类具有Caputo-Hadamard型导数的序列分数阶微分方程边值问题.利用Banach不动点定理、Leray-Schauder二择一定理、Leray-Schauder度理论研究边值问题解的存在唯一性,并用一些例子验证结果的有效性.

一类分数阶微分方程三点边值问题正解的存在性与不存在性

运用锥拉伸与锥压缩不动点定理,研究一类含两个扰动参数的Riemann-Liouville型分数阶微分方程三点边值问题,建立并证明该问题正解的存在性定理与不存在性定理.所得结果表明,参数对正解的存在性有影响.

分数阶微分方程非振动解的存在性

考虑分数阶具有正负系数中立型微分方程Dtα[r(t)x(t)+P (t)x(t-θ)]-q1(t)g1(x(t-τ))+q2(t)g2(x(t-σ))=h(t),利用Banach压缩映像原理获得了其一个新的非振动解的存在的充分条件.

带分布时滞分数阶微分方程非振动解的存在性

研究了一类中立型部分带有分布时滞且具有正负系数的分数阶微分方程,利用Banach压缩映像原理,通过克服算子构造和不等式放缩技巧,得到了方程有界的非振动解存在的充分条件,将其系数的适用范围拓展成不等于1和-1的实数,并通过算例验证了相关结果。

一类分数阶中立型延迟微分系统解的存在唯一性

首先利用分数阶微积分的相关性质获得一类Riemann-Liouville分数阶中立型延迟微分系统初值问题有连续解的等价问题,然后采用逐步逼近方法严格证明了此类分数阶中立型延迟微分系统初值问题解的存在唯一性,最后获得了该类初值问题的解有限步稳定的一个充分条件.