对称度量空间上的一个注记

本注记证明了一个具有度量型性质的对称度量空间是一个半度量空间,从而正面回答了Arandelovic和Keckic提出的一个公开问题。

量子信息中的度量空间方法在准周期系统中的应用

得益于量子信息理论的发展,保真度、纠缠熵等概念被引入到量子相变的研究中,不仅能用来标识新奇的物质相,还能用来探测量子相变的临界点以及描绘其临界行为.从度量空间的角度来看,这些物理量都可以被理解为度量空间中两个函数的距离.本文利用波函数和实空间中密度分布函数的距离,研究了以广义Aubry-André-Harper模型为代表的准周期系统,发现该方法不仅能标识拓展相、临界相和局域相,还能找到准确的相变点并计算出临界指数.此外,不仅将度量空间方法推广到波包扩散动力学研究,还提出了一种新的量,即态密度分布函数的距离,发现上述定义的两种物理量都能标识不同的物质相及相变点.通过定义某个函数在不同参数下的距离,不仅为标识已知系统相变点提供了研究工具,还为探测未知系统的不同物质相、相变点及其临界行为提供了一种直观的方法.

非紧致度量空间上的持久性

考虑非紧致度量空间上同胚的持久性问题,利用同胚的持久性、等度连续性、强拓扑稳定性、持久跟踪性等定义,证明:等度连续且拓扑稳定的同胚是持久的;同胚有持久跟踪性当且仅当该同胚是持久的且有伪轨跟踪性;有持久跟踪性的可扩同胚是强拓扑稳定的.

拟双曲度量空间中广义反演函数的性质

基于一般度量空间中flattening函数和admission反演函数的概念,在拟双曲度量空间中引入拟对偶的概念,并借助于拟双曲度量作为工具,结合flattening函数和admission反演函数的性质来刻画了拟双曲度量空间中广义反演函数的几何特征。

b-度量空间中一类积分型压缩映射的公共不动点定理

不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分,在处理许多非线性问题时起着十分关键的作用。Banach压缩映像原理是不动点理论研究中的热点问题之一,近年来经过学者们的深入研究,该定理在许多方面得到了拓展,取得了大量优秀的成果。在b-度量空间的框架下,首次考虑了积分型压缩映射的不动点问题。首先,在该类空间中提出了一类新的积分型压缩的概念,并根据映射对的包含关系构造出一个序列,再利用反证法和压缩条件证明了此序列是该空间中的一个柯西列;其次,通过该空间的完备性和映射对的弱相容性,证明了该空间中积分型压缩映射对的公共不动点的存在性及唯一性;最后,给出一个具体例子说明了该结果的有效性。

正交b-度量空间中的压缩不动点定理

研究了正交b-度量空间中Rhoades型压缩映像的不动点存在性问题.在完备的空间架构下,通过构造了单调迭代序列,运用迭代方法证明了非连续压缩映像的不动点存在唯一性定理.所得结果推广了相关文献的结论.

广义度量空间

本文主要内容有三：其一，继承和发展了Ｍｅｎｇｅｒ的基本思想，建立起广义度量空间的理论体系，给概率度量空间、随机度量空间以及模糊度量空间等，提供了一个统一的理论框架。改进了文［４］、［６］的工作。其二，站在广义度量理论的角度，对若干概率度量标准之间的关系进行了讨论，部分地回答了文［８］中提出的问题。其三，讨论了广义度量空间的拓扑结构以及完备化问题，推广了文［２］的工作。

完备度量空间与紧度量空间上的不动点定理

Ｆｉｓｈｅｒ Ｂ证明了如下的不动点定理：设（ Ｘ，ｄ） 和（ Ｙ，ρ） 是完备的度量空间，Ｔ是Ｘ到Ｙ的连续映射，Ｓ是Ｙ到Ｘ的映射，并满足下列不等式，即对所有ｘ，ｘ′∈Ｘ，ｙ，ｙ′∈Ｙ，０ ≤Ｃ≤１。ｄ（ＳＴｘ，ＳＴｘ′） ≤Ｃｍａｘ｛ｄ（ｘ，ｘ′） ，ｄ（ｘ，ＳＴｘ），ｄ（ｘ′，ＳＴｘ′），ρ（ Ｔｘ，Ｔｘ′）｝，ρ（ＴＳｙ，ＴＳｙ′） ≤Ｃｍａｘ｛ρ（ｙ，ｙ′），ρ（ｙ，ＴＳｙ），ρ（ｙ′，ＴＳｙ′），ｄ（Ｓｙ，Ｓｙ′）｝，则ＳＴ在Ｘ中有唯一不动点ｚ，ＴＳ在Ｙ中有唯一不动点ｗ 。并且有Ｔｚ ＝ ｗ 和Ｓｗ ＝ ｚ。该文对此定理作一推广，从而得到了完备度量空间与紧度量空间上２ 个新的不动点定理。

乘积度量空间上一类满足隐式压缩条件的映射对公共不动点的存在性和唯一性

通过在[1,∞)4上引入一个实函数类Φ,给出在乘积度量空间上满足Φ-隐式条件的两个映射的唯一公共不动点存在性定理,并给出若干个(公共)不动点定理.所得结论推广并改进了现有公共不动点定理(特别是乘积度量空间上的Banach-Chateajia型公共不动点定理).最后,用两个实例验证了所得结论的正确性.

关于b-度量空间的一点注记

Kunzi等在Topology and Its Application上发表的论文中证明了b-度量诱导的拓扑是可度量化的.其在证明b-度量空间的分离性时默认b-度量诱导的球是开集,但存在b-度量诱导的球不是开集的例子.为了使其证明更严谨,证明b-度量诱导的球是球心的一个邻域.

模糊拟度量空间中的一种序关系及其在最优化问题中的应用

在模糊拟度量空间中,给出元素之间的一种序关系及其与空间拓扑性质之间的联系。在此基础上,定义一种新的空间中子集上、下确界的概念;并证明在空间紧子集上,半连续映射具有最值性定理。

RPA:一种内存高效的度量空间recall@R近似最近邻搜索索引

现有的度量空间的近似最近邻搜索(approximate nearest neighbor search, ANNS)方法通常依赖于预选择的支撑点构成的序列,序列中的支撑点按照到数据元素的距离升序排列.然而,大多数现有的度量空间ANNS方法由于索引结构复杂、支撑点过多或者未能充分利用距离信息导致搜索时内存开销巨大.为此,提出精简排列阵(reduced permutation array, RPA)的度量空间recall@R近似最近邻搜索方法.对于全体数据元素,RPA预先选择k个支撑点,对每个数据元素仅存储离该数据元素最近的l个(l<<k),并将所有元素的支撑点序列构建为一个数组结构.在搜索过程中,利用一种得分函数,该函数基于查询对象到各个支撑点的距离来近似计算数据元素到查询对象的距离.同时,维护一个有界最小堆,以保存R个候选结果数据元素.RPA具有结构简单、内存效率高和可扩展性强等特点.实验结果表明,在相同召回率的情况下,与排列索引(permutation-based index, P-index)相比,RPA平均具有高达3倍的内存压缩比.研究结果可在内存资源有限的单机环境下提供一种有效的针对海量数据的ANNS方法.

区间值模糊推理的逻辑度量空间

为了探寻适合区间值模糊推理的条件,本文研究区间值逻辑度量空间。本文提出一种新的基于区间值双剩余蕴涵算子的区间值模糊集的距离度量。由4个著名的区间值双剩余诱导相应的距离度量,做成4个度量空间,分别研究4个度量空间的性质。进一步,证明基于区间值Łukasiewicz剩余蕴涵的度量空间和区间值Goguen剩余蕴涵的度量空间适合做区间值模糊推理。最后,在基于区间值Łukasiewicz剩余蕴涵度量空间中,证明基于区间值Łukasiewicz剩余蕴涵的模糊推理全蕴涵算法是鲁棒的,为区间值模糊推理算法的应用提供了坚实的理论基础。

经典逻辑度量空间上的反射变换

探讨了逻辑度量空间的结构,证明了在经典逻辑度量空间上存在一种反射变换φ,且φ保持逻辑等价关系不变,并且是同态映射;φ自然导出Lindenbaum代数上的一个反射变换φ*,φ*是Lindenbaum代数上的自同构变换,并且是等距变换.研究了φ*的不动点性态,得到了不动点的一般形式,即[A]∨φ*([A])或[A]∧φ*([A])(A∈F(S)).最后指出当n>2时,对于n值G del逻辑系统,相应的逻辑度量空间不具有上述性质.

由一般拓扑度量空间所产生的Alignment空间

Alignment空间是一个在广义误差下定义的度量空间。在以往的信息处理问题中,一般只讨论离散状态下的序列比对Alignment问题,并由此产生一种新的非线性度量空间-Alignment空间。本文将离散状态下的Alignment空间推广到一般情况,得到了由一般拓扑度量空间所产生的Alignment空间仍然是度量空间,并证明了Alignment距离与Levenshtein距离的等价性。

概率度量空间理论在中国的二十年

本文综述了我国二十年来在概率度量空间理论方面的研究成果 。

λ-超凸度量空间中可交换非扩张映射的不动点定理(英文)

给出λ 超凸度量空间中有限个可交换非扩张映射的公共不动点集及一定条件下任意个可交换非扩张映射的公共不动点集的λ 超凸性(λ<2),并获得一些更一般的不动点定理及一个重要反例。所得结果推广了一些已知的结果。

g－可度量空间的完备逆象

本文的主要目的是建立ｇ－可度量空间的两个映射定理：（１）ｇ－可度量空间是度量空间的商紧映象；（２）ｇ－可度量空间的完备逆象若具有Ｇ＿（δ－）对角线，那么它是ｇ－可度量空间。

模糊度量空间

首先给出有广义度量空间的基本概念，为通常意义下的度量空间、随机度量空间、概率度量空间……等不同类型的“度量空间”，提供了一个统一的数学模型，并在该模型下给出了模糊度量空间的一个新定义，改进了文［４］和文［７］的工作．

WF-模糊度量空间的若干性质(Ⅰ)

研究了ＷＦ模糊度量空间的某些基本性质，主要讨论了这类空间的完备性． 对完备的ＷＦ模糊度量空间，证明了有一定应用前景的闭球套定理和压缩型映射的几个不动点定理．