浅谈反证法的可操作性——基于康托尔对角线法、哥德尔不完全性定理、图灵停机问题及EPR悖论

一直以来,康托尔对角线法总是与反证法密不可分,然而反证法并不如通常看得那样简单。文章从操作主义的观点,针对反证法提出了几点可操作性的要求,然后分析了几个著名的反证法论证,发现都不同程度地存在一些问题。由于不恰当的隐性假设,康托尔关于实数集不可数的证明是无效的。哥德尔为证明不完全性定理而引入的一个定理违反了矛盾律,并且他关于"可证"与"真"的区分实际上是陷入了循环论证。图灵停机问题其实是比较晚近的提法,与图灵的原始论文有较大差别,而且有些证明思路可能还或多或少地误解了图灵。最后,通过分析爱因斯坦的EPR悖论,进一步强调了假设唯一以及事实认定,对于反证法的重要性。

三谈由悖论看概念的可操作性——浅析康托尔对角线法及哥德尔不完全定理的隐性假设

我们重点考察康托尔对角线法无效的根本原因,并对"理查德悖论"及哥德尔不完全定理进行尝试性分析。结果表明,由于概念缺乏操作性而无意引入的隐性假设,常会导致反证法论证的无效,这也正是悖论产生的一个主要根源。

再谈反证法的可操作性——基于对角线法在图灵论文中的应用

一般观点都认为,图灵停机问题是应用康托尔对角线的一个重要成果,而很少注意到图灵的对角线实际上完全与康托尔不同。特别值得注意的是,尽管图灵最终还是落入了隐性假设的陷阱,但他对于这个问题实际上是早有警惕的。在图灵的论文中,除了图灵机这一重要的概念之外,更富启发性的其实并不是他的证明,反而是他所批判的一个谬误;只要做一些适当的改进,这个所谓的谬误就是反驳康托尔的有力证据。