《弱拟凸集的一些性质及其应用》一文的注

研究了Ｂａｎａｃｈ空间中闭弱拟凸集的性质，并据此指出文〔１〕结果是微不足道的．

弱拟凸集的一些性质及其应用

在文[1]中,我们提出了赋范线性空间中伪凸、弱拟凸等广义凸集的概念,并探究了其逼近性质.本文将给出[1]中所提出的广义凸集中最弱的一种集——弱拟凸集的最佳逼近特征、强唯一性及弱拟凸集的强分离定理.并把所获的结果应用到 L_p(T,m)空间中去,得到了 L_1(T,m)空间中最佳逼近的特征和唯一性及 L_p(T,m)(1<p≤2)空间中最佳逼近的强唯一性,这里(T,m)为正测度空间.

关于弱拟凸集与广义凸集逼近的几点注记

本文证明了赋范线性空间中闭弱拟凸集必为凸集,并指出郭元明的”弱拟凸集的一些性质及其应用”、“广义凸集的联合逼近特性”两文中的主要结论实质上是已知的结果.

非线性逼近的强唯一性

设G是赋范线性空间 E 的子集,x∈E,g_0∈G.称 g_0是 G 对 x 是 q(q>1)阶强唯一最佳逼近乃指:若存在常数 C=C(x)>0,满足‖x-g‖~q≥‖x-g_0‖~q+c‖g-g_0‖~q,(?)g∈G.(1)我们对所有满足(1)式的常数 C 上确界为 x 相对于 G 的强唯一常数,记作 r(x).本文先获得:若 G 是 L_p 或 H^(k,p)(K≥0,2≤p≤∞)的弱拟凸(伪凸、拟凸)集,则 G 对 x∈L_p(H^(k,p))的最佳逼近具有 p 阶强唯一性;然后在一般赋范空间证明了 r(x)相对于 x 是上半连续的.

某些赋范线性空间中非线性联合逼近的α阶强唯一性

本文给出了满足某些条件的赋范线性空间上联合逼近的α阶强唯一性定理,利用这些定理获得了:若G是LP(HK.P)中的联合太阳集(或弱拟凸集,如果go是G中对F={fi}∈σ联合最佳逼近,则M】O,存在CP】O,使得g∈G∩B（go,M）有sum from i=1 to ∞γi‖fi-g‖p≥sum from i=1 to ∞γi‖fi-go‖p+Cp‖g-go‖α。其中α=max（2,P）