创生“数尺”:由“具体数学”走向“形式数学”——《认识负数》教学新探

用温度计引入负数教学值得商榷是共识,但离开了温度计后学生理解负数又缺少了直观的支撑。从知识发生、发展的角度切入,以＂＋＂＂-＂作为运算符号与性质符号的统一为抓手展开教学,则少了直观多了演绎,似乎不够完美。创生＂数尺＂引入负数,可帮助学生实现＂由具体数学向形式数学的第一次转折＂。

属性偏序形式结构的数学形式化

属性偏序形式结构,作为一种基于人类认知原理和粒计算思想的知识发现和知识表示新理论,目前已有广泛的应用,但其理论基础缺乏抽象化数学化,这势必影响该理论的系统发展。针对上述问题,研究了属性偏序形式结构的数学形式化描述问题。首先,基于粒计算的思想提出了知识表示的形式化框架。在此基础上,通过定义对象集合的覆盖和最简覆盖,给出属性偏序形式结构的粒和粒群的概念,进而通过对粒衍生出粒群的充要条件的讨论,给出了属性偏序形式结构中的知识结构,从而完成属性偏序形式结构的数学形式化描述。最后,通过具体实例展示了利用数学形式化描述构造属性偏序形式结构的过程,并揭示了该过程所体现的人类认知规律。

脆性各向同性材料的强度准则数学形式研究

针对质量比为水泥∶河砂∶水∶减水剂=1∶0.5∶0.4∶0.002的脆性各向同性材料,探究了胡克-布朗(H-B)准则、Power Curve准则与单参数Bieniawski准则等3类岩石经典非线性强度准则与Singh抛物线型强度准则的适用性,并对Singh抛物线型强度准则数学形式进行了修正。研究结果表明,单参数Bienianski准则能较好地反映脆性各向同性材料非线性强度特征,数学形式拟合值与试验值的残差平方和(RSS)最小;H-B准则与Power Curve准则均能反映抗压强度指标的非线性特征,但两者均过高估计抗拉强度值;将Singh抛物线型强度准则数学形式等效为因变量(σ_(1)-σ_(3))与自变量σ_(3)的二次多项式,试验数据拟合效果良好,并通过引入参数n表征试样进入临界状态时的围压σ_(crt)=nσ_(c),得到了修正的Singh抛物线型强度准则数学形式。

关于保守力判断的数学形式

对于保守力的概念,在书中基本上都是从讨论重力、万有引力、弹簧弹力做功角度出发,观察共同特点得出两种表述方式：一种是做功只与始、末位置有关,与质点经历的路径无关,把具有这种做功性质的力称为保守力;另一种表述即质点沿任意闭合路径运动一周,保守力对它所做的功为零,

经济学的数学形式主义及其批判

西方主流经济学一直力图使经济学数学化。在此过程中 ,经济学的一系列公理和命题都经历了一场删繁就简的洗礼。然而 ,西方主流经济学的数学形式主义却以牺牲经济内容来顾全数学理性形式的片面发展 ,数学化的进展只是对空洞理论的整理起到了一定作用 ,与现实经济的科学分析并无联系。将数学分析当作经济分析的唯一手段 ,不顾一切地加以运用 ,已经导致经济学发展的危机及其创新能力的窒息。

数学形式化与非形式化的研究综述

《普通高中数学课程标准（实验）》课程基本理念中的第七条是强调本质，注意适度形式化。形式化是数学的基本特征之一．在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。因此，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。这一课程基本理念一经提出，有关高中数学形式化与非形式化的一系列问题便成为我们高中数学教师研究的重点问题。

现实性的缺失——基于主流经济学假设及数学形式化的批评

20世纪50年代以来成为主流的新古典经济学派,在方法论个人主义的指导下,利用经济人假设及瓦尔拉斯一般均衡体系构建了一座宏伟的经济学大厦,对现实经济作出了许多深刻的洞见。文章认为,随着主流经济学中数学形式化的日趋严重及其对经济学研究和教育的垄断,这种分析范式的弊端也日益明显,并使其研究日益远离现实。

高中数学形式化与非形式化教学的案例研究

在新一轮高中数学课程改革中，数学的形式化与非形式化已经作为重要的内容写进了高中数学新课程标准当中．高中数学不同于初中数学与高等数学，它在研究对象的外在内容的同时也适当的渗透着数学形式化的本质，因此高中数学教育的主要任务就是，让学生在看到数学现象的同时也尽可能的认识到数学的本质．数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条，恢复为当初数学家发明创新时的火热思考，只有经过思考，才能最后理解这份冰冷的美丽．

基于Coq的逆矩阵运算的形式化

矩阵是一种在计算机科学中应用广泛的数据结构,其运算正确性具有重要意义。矩阵求逆在矩阵形式化工作当中缺乏合理且实用的形式化工作。其原因在于,工程中现有的两种常见求逆方法的形式化均存在难点。第一种是基于伴随矩阵求解方法,难点在于无法形式化地表示n*n矩阵的子矩阵,导致构建余子式组成的矩阵十分困难,因此难以实现伴随矩阵求解逆矩阵形式化;第二种称作高斯约旦初等变换求解法,难点在于构造初等矩阵及其操作函数。若使用Coq归纳结构设计操作函数,即采用行优先填充二维表的思想,将舍弃列维度对二维表的描述信息,使得操作函数分支过多,需要设计复杂的归纳结构,导致后续形式化验证无法进行。文中提出了基于记录的矩阵函数构建法,使用行列两种维度同时描述矩阵,使得构造并证明初等矩阵成为可能,在此基础上实现了在Coq系统中基于高斯约旦消元法的矩阵求逆的形式化工作。以一种代价更小且时间复杂度更低的方式,实现了首个形式化验证下的软件逆矩阵函数库。

不能弱化数学形式化

“强调本质，注意适度形式化”是《普通高中数学课程标准（实验）》提出的新理念．这一理念不是要打压、淡化数学形式化，而是为了改善数学教学中的数学形式化的生成过程．超越学生水平的形式化，只有数学的冰冷美丽，使得数学脱离现实，艰涩深奥，枯燥无味，远离学生的认知水平，最终不但无助于学生形成数学形式化，反而事与愿违，造成学生对数学望而生畏，这是不正确的．反之，过犹不及，将导致数学形式化被弱化，理性思维被边缘化，背离数学本质和数学教学目的，这同样是不正确的．

也谈高中数学形式化及其教学

有关数学形式化及其教学曾在20世纪90年代引发广泛讨论.伴随着中国高中数学课程标准从2003年实验版到2017年版及其2020年的重新修订,革新教学内容、改革教学方式成为时代发展的必然要求,重新认识和探讨新时代数学形式化及其教学具有十分重要的意义.基于文献研究和思辨性分析,提出数学形式化即是数学内容的抽象化与数学概念的符号化.数学形式化具有过程性、层次性及关联性等特点.与科学数学相比,学科数学重在传承、生长和理解,其形式化有所淡化.新的高中数学课程标准有关形式化内容表述的修订并非舍弃形式化的学习要求,而是力求更客观、更具体,体现适度性.改进高中数学形式化内容的教学要遵循“注重过程,渐进导入”的教学原则,运用情境化引入,降低形式化门槛;渐进性铺垫,搭建形式化平台;符号化呈现,揭示形式化内涵;巩固性训练,促进形式化理解.

论数学形式美的特征

本文从简单性、对称性、多样统一性及奇峭和谐性四个方面论述数学形式美的特征，并从哲学角度进行分析和概括。

数学形式与结构特征引导下的原型启发

文中把心理学中的“原型启发”概念引入到数学教学之中 ,通过对数学问题形式特征、数据、变量之间特定关系的表征、联想、原型启发 ,激活原有的知识和经验 ,在新的一个知识层面上建构问题解决的新模型 ,探索问题解决的新途径 ,这种教学方法不仅能培养学生良好的观察能力和知识的综合运用能力 ,同时每一个问题的解决过程都是一次知识的重组和整合 。

数学美的本质

数学家庞加勒曾把数学美的内容和基本特征概括为统一性、简洁性、对称性、协调性和奇异性.徐利治教授认为这一概括十分精辟,也为大多数数学家所承认.数学美的概念与其它的事物一样,也是随着社会的发展而发展.数学美是现实美的反映,它是现实肯定实践的一种自由形式.

劳动价值的数学形式

本文在马克思扩大再生产两大部类模型基础上,提出了商品活价值量的数学形式,在经济学中第一次引入了劳动凝结率的概念并且给出了定义。

数学概念的形式化与教学思考——以初中数与代数的概念为例

在初中数与代数中,概念的形式化是教与学中常见的过程,它是一般化、符号化的结果,与概念的内容密切相关.概念定义、概念性质、概念应用等相关知识的学习过程,也是理解概念形式化,使概念形式化从理性抽象走向理性具体的过程.

浅谈幼儿园数学活动形式生活化、游戏化的重要性

我们的生活离不开数学，数学就在生活中。孩子的天性是好动、贪玩，所以把教案硬搬上来，他们却不一定领情，于是我在教育教学中进行了幼儿教学教育生活化、游戏化的探索，从幼儿学习数学的兴趣出发，发展幼儿思维的灵活性、积极性，提高了幼儿数学认知能力。让幼儿“从生活和游戏中感受事物之间的关系，体验数学的重要性和乐趣……引导孩子对在周围环境中的数量、形状、时间和空间等现象感兴趣，构建一些基本的概念，并学会用简单的数学方法解决一些简单的生活问题和游戏问题。”本文从三个方面阐述了笔者在数学教育生活化、游戏化过程中的一些做法1．把握生活中教教学机会，开展数学游戏活动；2．生活、游戏、课程综合考虑；3．运用数学游戏辅助教学，提高数学课堂参与度；4．构建生活化的教学情境，激发幼儿的数学兴趣；5．充分挖掘区角游戏中的教育资源。

小学数学教学“数学化”缺失的分析

“数学化”是“生活数学”提升为“形式数学”的阶梯．“数学化”过程对儿童构建数学认知结构至关重要，“数学化”过程促进儿童科学精神的养成．从过分注重形式化到偏重生活化，都会导致小学数学课堂“数学化”的缺失．分析“数学化”缺失的现实原因，正视“数学化”在儿童数学学习和成长中的价值，进一步推动数学课程改革健康发展．

高中数学形式与内容整合的策略研究

数学是一门由文字语言、符号语言、图象语言综合架构而成的学科，而数学里的形式化正是应用这些特定的数学语言来解析社会、自然以及抽象的空间结构和数量关系的．形式是数学艺术魅力、深邃的外在表达形式，与数学内容有着本质的联系．因此，数学内在属性受到重视的同时，应当注重数学的形式化问题．如何在高中数学教学中尊重形式化，处理好数学内容与形式的辩证关系，既是～项数学研究的重要课题，又是每个高中数学教师必须面临的根本任务．笔者根据多年的一线教学经验和理论研究，总结出了如下几方面的应对策略．