巧用托勒密定理解高考模拟试题

文章以几道试题为例,介绍了托勒密定理在求解与圆内接四边形有关的高考模拟试题中的应用.

由托勒密定理说开去

本文利用托勒密定理,由具体到抽象,由特殊到一般,探究圆的内接正多边形中的任意三个顶点与此正多边形的一条边所对的劣弧上的一个动点的三条连线段之间的数量关系,并给出圆的内接多边形为正多边形的一个必要条件.

托勒密与托勒密定理

托勒密定理,是中学数学中一条熟知的平面几何定理。但是你可知道,就是这个定理,对于三角学的创立曾经起过多么重要的作用！以下就来简略介绍这段历史渊源。 托勒密（C.Ptolemy,约90—168）,古希腊亚历山大后期重要数学家、天文学家和地理学家。他出生于上埃及,青年时到亚历山大里亚学习,并长期居住在那里,在皇家艺术宫里从事天文观测和科学研究。他的著作有《天文学大全》（又称《数学汇编》、《大汇编》）13卷、《地理学指南》和《光学》等。其中以《大全》最著名,它是一本数学和天文学书,而数学主要是讲三角学。为了推导两角之和。

借助托勒密定理 构造圆内接四边形

我们熟知的托勒密定理及广义托勒密定理如下：托勒密定理：凸四边形ABCD内接于圆的充要条件是AB·CD＋AD·BC=AC·BD。广义托勒密定理：若四边形ABCD为凸四边形,则AB·CD＋AD·BC≥AC·BD,当且仅当凸四边形ABCD内接于圆时等号成立,亦称托勒密不等式。上述托勒密定理及广义托勒密定理是平面几何中最著名的定理,笔者研究奥赛多年,深知其在平面几何中的地位与作用,然而很少关注它在代数中的应用。近些日子再一次审视熟悉而又陌生的托勒密定理时，不仅发现其本身具有鲜明的代数特征，而且托勒密定理还是馋决代数问题的强有力工具，可以说托勒密定理是数形结合的典范。运用托勒密定理解决代数问题的关键在于构造满足条件的圆内接四边形，本文是笔者近期一点心得体会，以求抛砖引玉，不当之处，敬请批评指正。

托勒密定理的复数证法及其应用

托勒密定理指圆内接凸四边形两组对边乘积的和等于两对角线的乘积。托勒密定理主要用于圆内线段的计算和证明,解决正多边形的一些尺规作图问题。

托勒密定理与交比

根据交比在分式线性变换下的不变性,得到了交比形式的托勒密定理及其逆定理。

托勒密定理及其应用

托勒密定理在圆内接四边形中，两条对角线长度之积等于两对对边乘积之和．

托勒密定理的向量证明

从向量的角度对托勒密定理进行研究，可以精简证明过程，降低综合几何在解决问题时的难度，也可以直观地得出一些有用的结论．

托勒密定理与正多边形外接圆的性质

文章利用托勒密定理简洁地导出了正多边形外接圆的若干性质.

托勒密定理的两个应用

托勒密（Ptolemy）定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

应用托勒密定理解题

托勒密定理 圆内接四边形两组对边乘积的和等于其两条对角线的乘积。 定理的证明这里略去。 通过构造圆内接四边形运用托勒密定理。

当托勒密定理遇上向量法

自2006年研究向量法以来，笔者曾多次思考如何用向量法证明托勒密定理，但一直没有得到好的解法．《绕来绕去的向量法》在2010年出版时，笔者也在书里坦白失败的经历．可以得到结论：对于四点A、B、C、D，

利用托勒密定理巧解三角形

托勒密定理：“圆内接凸四边形两组对边乘积之和等于两条对角线乘积．”广义的托勒密定理：“平面凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线乘积，等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得．”它是揭示凸四边形对边与对角线之间的数量关系的重要定理．

巧用托勒密定理

托勒密定理是中学数学中应用比较广的一个重要定理，通过构造托勒密定理的条件，能对许多几何问题和代数问题的解决起到简化作用，也可以把代数问题几何化。我们应该重视托勒密定理，可使问题的求解过程变得简捷明快。

托勒密定理巧解2018福建质检理数16题

1试题呈现2018年4月福建省质检卷理科数学第16题：在平面四边形ABCD中,AB=1,5AC=√2,BD⊥BC,BD=2BC,则AD的最小值为___.本小题以平面四边形为载体,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力和创新意识,考查函数与方程思想、化归转化思想等.但计算量较大,考生无法选择合适的三角形及相应的边角关系,导致失分,属于难题.根据已知条件和图形结构,容易联想到托勒密（Ptolemy）定理.

从证明托勒密定理过程中感受初等几何的思维视角

初等平面几何中定理、性质、结论较多,运用广泛,在数学竞赛中,证明几何题方法灵活机动,可从代数、几何、三角知识作深入性思考,现结合托勒密定理证明作简单阐述,供参考.托勒密(Ptolemy)定理:圆内接四边形的两组对边的乘积之和等于两对角线的乘积.已知:四边形ABCD内接于圆O.证明:AB·CD+AD·BC=AC·BD.证法分析1此定理从几何角度证明方法较多。

托勒密定理的新证明

本文给出托勒密定理的一个新证明。

用极坐标法证明托勒密定理

托勒密定理是平面几何中著名的定理，它有着多种证明方法，然而随着高中课程把《坐标系与参数方程》列入选修系列4，因此，使得极坐标这一传统内容又有了用武之地，本文介绍三种证明托勒密定理的极坐标方法．供高中数学教师阅读时参考．