拉格朗日恒等式及其应用

本文介绍拉格朗日恒等式,并借助它解决一道数列预赛试题,再通过实例介绍拉格朗日恒等式在解竞赛题中的应用。

方差相关恒等式与不等式——兼谈教学中的“见微知著”与“举重若轻”

从两个基本的方差恒等式出发,讨论与方差相关的一些恒等式与不等式及其应用.主要内容包括方差的非显式地依赖于期望的表示,切比雪夫序不等式(FKG不等式),用方差衡量延森不等式两边的亏损(∅熵不等式),Bregman散度与期望的联系,由方差相关等式得到的惠更斯-莱布尼兹恒等式、第二拉格朗日恒等式等代数恒等式及其在统计学教学中的应用.最后结合本文内容简要讨论教学中应该注意“见微知著”式的启发,“举重若轻”和“删繁就简”的教学方法,以及数学各学科的融合.

Lagrange恒等式和Буняковский不等式的行列式证法及其推广

由初等代数学,我们知道下面恒等式是成立的:(sum from n to i=1 a_i^2)(sum from n to i=1 b_i^2)-(sum from n to i=1 a_ib_i)=sum from to (i,f)(a_ib_f-a_fb_i)~Z……(1)此恒等式,通常称为拉格朗日(Lagrange)恒等式。由初等代数学也容易证明下面不等式是成立的:

柯西不等式证法探讨

利用配方法、构造二次三项式、二元二次型的正定性、拉格朗日恒等式、行列式性质、数学归纳法以及算术平均-几何平均不等式等7种方法给出了柯西不等式的7种证法.

欧拉公式的注记(英文)

欧拉公式描述了两个相交曲面的交线曲率、两曲面的法曲率、两曲面夹角之间的关系。它在积分几何中应用广泛。本文给出它的一个简单证明。还给出了一个类似欧拉公式的简单证明。

基于绝对节点坐标法的大变形柔性梁几种动力学模型研究

对在平面内大范围转动的大变形柔性梁动力学进行了研究,基于绝对节点坐标法建立了一种新的大变形柔性梁的非线性动力学模型.该动力学模型中考虑了柔性梁的轴向拉伸变形和横向弯曲变形,利用Green-Lagrangian应变张量计算柔性梁的轴向应变及应变能,利用曲率的精确表达式计算柔性梁的横向弯曲变形能.运用拉格朗日恒等式给出了柔性梁横向弯曲变形能新的表达式,该变形能表达式更加简洁,通过新的变形能表达式得到了新的弹性力模型,由此得到的动力学方程可以精确地描述柔性梁的几何大变形问题.通过与高次耦合模型以及ANSYS中BEAM188非线性梁单元模型的比较,验证了本模型在计算大变形时的正确性以及高次耦合模型在处理大变形问题时的不足.进一步研究发现,新的广义弹性力模型可以适当地简化,给出了两种简化模型,根据不同模型的计算效率以及计算精度的比较确定了不同模型的适用范围.

余弦定理在三维空间中的推广

文[1]和[2]利用初等几何和三角的方法,分别把勾股定理和余弦定理推广到直四面体和直三棱锥上去,得到了有意义的结果。本文以空间解析几何中的矢量为工具,通过十分简单的计算就可以把上述的结果作进一步的推广。

双重向量积的性质探讨

向量积运算是解析几何中非常重要的内容。双重向量积与数乘之间的关系更是教学中的重点与难点,这里将给出一种更简单、有效的证明其性质的方法,并探讨它在恒等式证明中的一些应用。

三棱锥的几个度量公式

本文应用矢量代数的方法,对任意的三棱锥,若已知其从一个顶点出发的三棱棱长及此三棱所成的三个面角的大小,可通过简洁的计算求出三棱锥的体积,表面积、相邻二面所成二面角、任一棱与不过该梭的面所成的角和二异面对棱间的距离的度量公式.