余循环变形、辫子monoidal范畴及拟三角性

设A是双代数,R∈A（×）A是强“余循环”。证明了monoidal范畴_Aμ在一个辫子的monoidal子范畴。并给出（A,R）是拟三角双代数的几个等价条件。进一步证明,若R是YB-算子,则A含有一个有限维子双代数是拟三角Hopf代数。