求解半线性特征值问题的搜索延拓法

设计求解半线性椭圆特征值问题的改进型搜索延拓法(SEM),旨在实现以稳定方式计算多特征对的目标.该方法首先利用与模型问题对应的线性特征值问题的特征基的线性组合来搜索多特征对的初值;接着,适当增加特征基个数以获得更好的初值;然后,结合插值系数技巧与Legendre-Galerkin谱方法来离散模型问题,导出一个形式简单的非线性代数方程组,使得在每步牛顿迭代中更新雅可比矩阵只需计算一个对角矩阵;最后,用数值延拓法求解每个初值对应的特征对.该算法计算量小、谱精度高且易于实现.一类立方非线性特征值问题多特征对的丰富数值结果表明了方法的有效性,并展现出一些有趣的性质,包括特征对的分布规律,这些性质还有待证明.

计算半线性椭圆问题多解的一类谱Galerkin型搜索延拓法的收敛性分析

本文提出计算半线性椭圆边值问题多解的一类高效的谱Galerkin型搜索延拓法(SGSEM).该方法基于模型方程相应线性特征值问题的若干特征函数的线性组合构造多解初值,充分利用了传统搜索延拓法构造多解初值方面的优势.同时,采用插值系数Legendre-Galerkin谱方法离散模型问题,具有计算成本低、计算精度高的优点.运用Schauder不动点定理和其他技巧,本文严格证明了对应于每个特定真解的数值解的存在性以及限制在该真解一个充分小的邻域内的数值解的唯一性,并证明了其谱收敛性.数值结果验证了算法的可行性与高效性,并展示了不同类型的多解.

一类四阶非线性偏微分方程多解的高精度偏牛顿校正算法

本文通过引入一种新的增广变换,发展了改进的偏牛顿校正算法,建立并证明了一类四阶非线性偏微分方程边值问题的新解与该问题零核空间的密切关系,去掉了标准收敛假设,使证明更简洁明了.分情况验证了该方程满足在Nehari子流形上全局分离定理的条件,该分离定理为本文算法成功找到新解提供理论保障.提出了二维非线性四阶偏微分方程Dirichlet边值问题的插值投影Legendre-Galerkin谱方法,通过构造插值算子和投影算子,对线性算子以及非线性项的处理进行了优化,得到原问题的代数方程,通过验证,其与经典谱方法具有相同的条件数并都达到谱精度.实验结果表明,此方法与经典的谱方法或拟谱方法具有相同的收敛阶,但计算所需CPU时间更少,且能计算出更多的解.