梯度收缩Ricci孤立子的分类

Ricci孤立子的研究有两个重要的方向,一个是研究黎曼流形上Ricci孤立子的结构对其拓扑结构的影响,另一个是研究Ricci孤立子的几何性质及几何不变量。本文,我们将系统的阐述满足一定曲率及Weyl张量等条件下梯度收缩孤立子的分类。

一类三维非单模洛伦兹李群上的代数Ricci孤立子

Ricci孤立子是一类特殊的黎曼度量,类似于Ricci曲率定号流形,是近些年研究的热点。关于具有积结构的三维洛伦兹李群与两种联络有关的代数Ricci孤立子存在情况,有学者已经给出了明确的结论。本文在现有成果的基础上,将其拓展到具体一类三维非单模左不变洛伦兹李群上与三种联络相关的两类代数Ricci孤立子存在的情形,给出了该群分别与三种联络有关的两类代数Ricci孤立子存在条件的具体结果,这对揭示李群上几何性质和拓扑性质有重要的理论研究意义。

四维完备梯度近Ricci孤立子的局部特征

用几何分析的方法,并结合一些重要不等式,研究满足特定条件(与Weyl张量的反自对偶或自对偶部分相关)的四维完备梯度近Ricci孤立子的局部特征,证得该孤立子在局部上是具有三维常截面曲率纤维的卷积结构或具有三维Einstein纤维的卷积结构.

关于收缩或稳定的梯度Ricci孤立子的数量曲率估计的一个简要证明

收缩或稳定的梯度Ricci孤立子的数量曲率的下界估计对于研究势函数增长估计或者体积增长估计十分有用.文章利用光滑度量测度空间上的Laplace比较定理,得到数量曲率下界估计的一个简要证明.

截面曲率有上界的4维收缩的梯度Ricci孤立子

利用标准的极值原理,探讨了4维收缩的梯度Ricci孤立子的几何性质,获得了孤立子的一个重要的曲率估计:在1个紧致的4维收缩的梯度Ricci孤立子上,如果截面曲率有恰当的上界,那么该孤立子的Ricci曲率一定是非负的;如果孤立子不是紧致的,但数量曲率有界且有正的下界,那么该孤立子的Ricci曲率也一定是非负的.

具有正Ricci曲率和小Weyl张量的梯度收缩近Ricci孤立子

研究具有正Ricci曲率和小Weyl张量的连通定向闭梯度收缩近Ricci孤立子,在孤立子函数的二阶协变导数满足适当的积分条件下,证明了该孤立子是Einstein流形.

高斯收缩孤立子上的特征值不等式

高斯收缩孤立子光滑度量测度空间的一个重要特例,在Ricci流的研究中具有重要作用。文章研究了高斯收缩孤立子上一类椭圆算子的特征值问题,并通过构造合适的测试函数,给出了这些特征值的一个万有不等式。

Ricci孤立子的势函数

Bakry-Emery Ricci张量定义为Ric_(f)=Ric+Hessf。特殊地,当光滑实值函数f为常数时,Bakry-Emery Ricci张量为Ricci张量,方程Ric_(f)=ρg(ρ为常数)实际为梯度Ricci孤立子方程。本文应用Bakry-Emery Ricci张量与Riccati不等式来研究梯度Ricci孤立子的势函数,分别给出扩张、稳定及收缩梯度Ricci孤立子势函数的下界估计。

保持Ricci孤立子结构的共形变换

研究了保持Ricci孤立子结构的共形变换,证明了2维梯度Ricci孤立子的共形刚性定理,给出了保持梯度Ricci孤立子结构的共形变换在维数大于2的情况下必须满足的条件.

Ricci孤立子的曲率及势函数

过去几十年中,人们越来越关注满足特殊结构方程度量的黎曼流形的研究。其中一个最重要的例子是Ricci流和Ricci孤立子。Ricci流是研究黎曼流形最有力的工具之一,它在Hamilton和Perelman证明Poincaré猜想过程中起着关键作用,并且广泛用于研究流形的拓扑结构、几何性质和其它复杂结构。Ricci流方程本身作为偏微分方程的研究也十分重要,它给出了关键度量的规范方法。关于Ricci孤立子有两个重要的研究方向,一是研究黎曼流形的Ricci孤立子结构对拓扑结构的影响,另一个是研究它在几何学中的影响。本文,我们将归纳总结Ricci孤立子曲率及势函数的估计结果。

Ricci孤立子的刚性及体积增长

20世纪80年代Hamilton提出Ricci流的概念并用于解决Poincaré猜想后,Ricci流的自相似解(即Ricci孤立子)的分类及几何结构的研究得到迅速发展。梯度Ricci孤立子为刚性的若它等距于N×Rk的一个有限商空间,其中N 为爱因斯坦流形。测地球的体积增长是研究流形及Ricci孤立子重要的几何性质,体积增长率也是重要的几何不变量。本文将系统阐述Ricci孤立子的基本发展、Ricci孤立子的刚性及体积增长结果,给出完备非紧致梯度Ricci孤立子线性或欧氏体积增长的结论。

完备非紧梯度扩张Ricci孤立子的刚性

利用已有梯度Ricci孤立子的刚性定理,讨论完备非紧梯度扩张Ricci孤立子,在Ricci曲率非负、径向曲率为0及Weyl张量的四阶散度非负的条件下,得到了其刚性的结果.

近Ricci孤立子的刚性

通过计算无迹曲率张量模长平方的X-Laplace算子,讨论近Ricci孤立子的刚性.在数量曲率非负的假设下,证明完备近Ricci孤立子在逐点拼挤条件下等距于?~n或S~n的有限商.对紧致近Ricci孤立子,在数量曲率为正的假设下,给出一个积分不等式,并证明等号成立当且仅当孤立子等距于S~n的有限商.

多重卷积流形上的梯度近Ricci孤立子

利用多重卷积流形上的协变导数算子、梯度算子、Ricci曲率的性质以及二阶椭圆算子的强最大值原理,讨论多重卷积流形上的梯度近Ricci孤立子,给出多重卷积流形是梯度近Ricci孤立子的充要条件,以及多重卷积流形上的梯度近Ricci孤立子的一个刚性结果.

一类扭积形式的梯度近Ricci孤立子

研究了扭积和梯度近Ricci孤立子的关系问题.获得了一类扭积形式的梯度近Ricci孤立子,推广了梯度近Ricci孤立子的存在范围.

Lorentz 空间中超曲面上的 Ricci 孤立子

本文研究 Lorentz 空间 E1n+1 中超曲面上以它的位置向量的切向为势向量场的 Ricci 孤立子。在超曲面的形状算子可对角化的假定下,得到超曲面至多有两个不相同的主曲率。

紧致h-近Ricci孤立子的平凡性结果

主要研究了h-近Ricci孤立子,利用散度定理及Schur引理得到了有关紧致h-近Ricci孤立子的平凡性结果,即在适当积分条件下,证明了紧致h-近Ricci孤立子为Einstein流形.

具有Ricci孤立子的仿Kenmotsu流形

Ricci孤立子在切触与仿切触几何中都是一个研究热点,文中考虑其一分支仿Kenmotsu流形,得到具有Ricci孤立子的Ricci recurrent和φ-recurrent的仿Kenmotsu流形的分类定理。

欧氏超曲面上的一类紧致梯度Ricci孤立子

本文将讨论欧氏空间中超曲面上的一类特殊Ricci孤立子,得到:若(M^n,g,ρ)为一个n维的Ricci孤立子,则在欧氏空间的紧致超曲面中不存在以位置向量函数模长平方的一半为梯度势函数,ρ=1的一类特殊的收缩梯度Ricci孤立子。

紧致Ricci孤立子的Ricci平均值

文章通过在紧致黎曼流形定义一个量δ得到该黎曼流形构成Ricci孤立子的两个必要条件,特别,得出一个紧致Ricci孤立子的δ=0当且仅当它是Einstein的(平凡的).