在微积分学中,指数函数f(x)=e^(-x)^(-2)(x≠0)是一个非常简单而十分重要的初等偶函数,尤其是在函数的幂级数展开中,需要研究这个指数函数的有限形式的高阶导数及其性质.本文对此问题进行了研究,并得到如下结果:设f(x)=e^(-x)^(-2)(x≠0...在微积分学中,指数函数f(x)=e^(-x)^(-2)(x≠0)是一个非常简单而十分重要的初等偶函数,尤其是在函数的幂级数展开中,需要研究这个指数函数的有限形式的高阶导数及其性质.本文对此问题进行了研究,并得到如下结果:设f(x)=e^(-x)^(-2)(x≠0)的n阶导数为f_n(x)=fn(x)e^(-x)^(-2),则f_n(x)=sum from i=1 to n(-1)^(n+i)C_i(n)x^(-n-2i),其中C_1(n)=(n+1)!,C_i(n)=2sum from j=i to n(n+2i-1)!/(j+2i-1)!C_(i-1)(j-1),(1<i≤n).展开更多
文摘在微积分学中,指数函数f(x)=e^(-x)^(-2)(x≠0)是一个非常简单而十分重要的初等偶函数,尤其是在函数的幂级数展开中,需要研究这个指数函数的有限形式的高阶导数及其性质.本文对此问题进行了研究,并得到如下结果:设f(x)=e^(-x)^(-2)(x≠0)的n阶导数为f_n(x)=fn(x)e^(-x)^(-2),则f_n(x)=sum from i=1 to n(-1)^(n+i)C_i(n)x^(-n-2i),其中C_1(n)=(n+1)!,C_i(n)=2sum from j=i to n(n+2i-1)!/(j+2i-1)!C_(i-1)(j-1),(1<i≤n).
