偏微分方程数值解课程思政教学研究与实践

课程思政教育的目的在于培养德才兼备的大学生,使其具备坚定的政治立场、良好的专业能力和一定的创新实践能力。偏微分方程数值解是计算数学专业的重要专业课程之一,具有理论复杂、实践性强的特点。该文分析课程教学及学生学习中存在的问题,介绍偏微分方程数值解课程思政教育的必要性,基于西北工业大学数学专业本科生与理工科研究生在本课程教学内容、教学模式等方面的研究与实践获得的成效,初步探索基于思政教育的教学实践策略,可以为该课程的思政教育提供一定借鉴。

一类含符号函数的无穷积分的高效数值解法

基于频域法研究几类随机激励下工程结构的动力响应,需要求解4种含符号函数在无穷区间的积分解,而该4种积分式目前存在计算效率和精度的问题。首先,根据积分运算法则将4种积分式的计算转换为一种积分式的计算;其次,基于留数定理和高斯-雅克比积分提出了4种积分式的高效简明数值解法;最后,通过算例研究了传统方法受积分上限和积分区间的影响、本文方法受高斯-雅克比积分节点数的影响。结果表明:传统方法的计算结果受积分区间和积分上限的影响较大,而本文方法取25个高斯-雅克比积分节点数即可获得较高的精度,且具有较高的计算效率。

基于Jupyter Notebook的微分方程数值解教学案例设计

针对微分方程数值解课程缺乏对学生计算编程能力培养的问题,基于Jupyter Notebook设计了一种微分方程数值解教学案例。通过实例讲解的方式,介绍了微分方程数值解的欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法,并在Jupyter Notebook上实现了相应的代码。该案例不仅能够帮助教师更好地开展教学,还能够提高学生的编程能力。1引言微分方程是数学中的一个重要分支,其在科学和工程领域中具有广泛的应用。微分方程模型可以用于描述各种自然现象和工程问题,如物理学、生物学、经济学和工程学等领域。因此,微分方程的理论和数值解方法对于学生的学习和职业发展都具有重要的意义^([1])。

Abel积分方程的数值解

文章研究了Abel积分方程的数值解。首先对Abel积分方程进行多次积分得到与之等价的积分方程,结合分段泰勒级数得到方程的数值解;然后利用Banach空间的映射原理,证明数值解的收敛性;最后通过例题验证此方法的可行性与有效性,并给相应的出误差估计。

第二类Fredholm模糊积分方程的模糊数值解

研究了一类模糊集意义下的第二类Fredholm模糊积分方程的数值解。采用残余幂级数法得到第二类Fredholm模糊积分方程的k级截断级数解,将第二类Fredholm模糊积分方程的数值解用泰勒光滑公式展开,并通过代数方程组求解出相关系数。最后,结合数值算例证明了残余幂级数方法的稳定性和收敛性。

圣维南方程的3次B样条拟插值数值解

首先针对不同阶的连续可导函数,对3次B样条拟插值算子进行相应的误差估计。其次将3次B样条拟插值方法用于求解圣维南方程,利用3次B样条拟插值的一阶导数近似圣维南方程的空间导数,同时使用向前差分近似其一阶时间导数,求出其数值解。最后将所得结果与4阶龙格库塔法和蛙跳格式所得数值解进行对比分析,结果表明3次B样条拟插值方法具有一定的优越性。

具有垂直传播和时间周期的登革热模型的三次B样条拟插值法数值解

数学模型是理解和控制传染病传播的重要途径。利用三次B样条拟插值法求解一类具有垂直传播和时间周期的登革热数学模型,首先介绍三次B样条拟插值的基本知识,接着用拟插值的导数来逼近因变量的空间导数,再用修正的欧拉法逼近因变量的时间导数,得到数值算法。最后用该方法分别求得登革热模型的基本再生数大于1和小于1时的数值模拟图和数值解。

基于GA-Chebyshev神经网络的一类分数阶微分方程的数值解

针对一类分数阶微分方程求数值解的问题,在切比雪夫神经网络的基础上,提出一种利用遗传算法优化切比雪夫神经网络的新方法,并通过2个算例验证了该方法的可行性和有效性。研究结果表明:与现有数值方法相比,采用改进的切比雪夫神经网络方法计算微分方程的数值解与准确解更为接近,误差较小。研究结论为分数阶微分方程中类似问题的求解提供了新思路。

一维热传导方程数值解的计算机仿真与研究

借助计算机辅助分析了一维热传导方程数值解、精确解及两种解的差的绝对值和最大误差。运用古典显示差分法和基本办公软件Excel循环迭代功能计算了该格式下一维热传导方程的数值解,通过Origin绘图将数值可视化以使对比更直观。比较表明,该数值解方法在满足一定的精度要求范围内能得到符合实际的结果。结合使用Excel迭代计算功能,避免了微分方程的繁琐求解及计算机的复杂编程,给解决实际问题带来较大的便利。

基于有限元方法求解偏微分方程数值解的教学方法研究

本文以椭圆方程为例,通过有限元方法,对其求解偏微分方程数值解的教学方法进行了研究,对求解椭圆型偏微分方程特征值问题的弱有限元方法进行了总结。该方法可将特征值渐近下界估计给出,无需对特殊有限元空间进行构造,无需误差估计进行后验。弱有限元方法给出特征值渐近下界,对基于插值后处理获得的特征值上界方法进行,利用该算法在只求解一次特征值问题条件下可同时获得特征值上界估计、下界估计。在求解偏微分方程特征值问题时,弱有限元方法可获得高阶下界估计的性质。此类方法可对椭圆型偏微分方程特征值等问题进行应用,同时,使用Matlab工具进行有限元方法的计算,从而可获得较好的教学效果。

Ait-Sahalia利率模型数值解收敛性分析

【目的】为研究一类高度非线性的广义Ait-Sahalia利率模型,对其数值解的收敛性进行证明。【方法】首先引入迭代方法证明方程存在唯一的全局正解;然后从经典欧拉(Euler-Maruyama,EM)数值格式出发,得到了广义Ait-Sahalia利率模型的驯服(tamed)欧拉数值解;最后修正方程系数所满足的条件,证明方程的驯服欧拉数值解依概率收敛于方程的解析解。【结果】对于漂移项和扩散项都高度非线性的随机微分方程,通过改进经典欧拉方法及处理方程漂移项和扩散项的系数条件,可获得具有依概率收敛性质的数值解。【结论】本研究结果可推广至其他类型的利率模型数值解研究,对金融衍生品分析和定价具有一定的指导意义。

大型稀疏线性方程组的数值解法

在许多利用经典算法求线性方程组的数值解的过程中,系数矩阵中的零元素对计算结果没有影响,也就没有存储的必要。如果是大型稀疏线性方程组,这样可以节省大量的存储空间。为此,提出一种在MATLAB语言环境中仅储存系数矩阵中非零元素的方法:利用3个1维数组储存系数矩阵中的非零元素及其在矩阵中的位置(行号,列号)。在编程时,忽略零元素参与的运算,可使计算量大大减少。这2个方面的改进使得利用经典算法求解大型稀疏线性方程组成为可能。借助于Jacobi迭代法进行的一系列数值实验,验证了这一探索的可行性。

季冻区地层最大冻结深度解析解与数值解的对比研究

季节性冻土会出现冻融循环现象,合理地确定地层最大冻结深度是季节性冻土区防冻设计的一个重要参数。本文基于传热学原理分别建立地层温度场解析计算模型和数值计算模型,针对我国西部季冻区地层冻结问题,利用MATLAB和有限元软件对模型进行求解得出温度场分布,并确定最大冻结深度。结果表明:季冻区地层不同深度土体温度和地表温度分布一样,均呈正弦函数分布,且距离地表越近,温度变化越大;解析解所求最大冻结深度大于数值解所求最大冻结深度。研究成果可为季冻区防冻设计提供参考和借鉴。

煤粒瓦斯放散数学模型及数值解算

为了研究煤粒瓦斯的解吸和放散规律,设计了煤粒瓦斯解吸实验,得到不同粒径煤样在不同初始压力条件下累积解吸量随时间变化的实测曲线。根据达西定律,建立煤粒瓦斯放散的数学模型,运用有限差分法对数学模型进行处理,利用Visual Basic语言编制计算机程序对数学模型进行解算,得出煤粒内部瓦斯压力变化规律和煤粒内不同压力下的累积解吸量。通过对比模拟结果和实验结果,得出瓦斯从煤粒中放散出来符合达西定律。

高地温隧道温度场的数值解

解决高地温隧道热害问题的前提是掌握隧道结构与高温围岩及隧道内空气间的传热规律。根据能量守恒定律,建立隧道空气-隧道衬砌-高温围岩的二维非稳态传热有限差分方程,分析季节性风温、不同程度高地温和铺设隔热层等对高地温隧道传热的影响。得到了隧道开挖后,围岩温度随自然风变化的规律、调热圈厚度变化规律和隔热层厚度对高地温隧道降温的影响等结果。研究所得结论可为高地温隧道施工及运营过程中的降温技术提供理论依据。

一种基于遗传算法的求代数方程组数值解的新方法

解方程组是工程研究中的基本问题 .当前的各种求解方法都只针对某一特定类型的方程组 ,没有通用性 .根据遗传算法与具体问题无关的特点 ,提出了一种通用的代数方程组数值解求解方法 .首先 ,基于遗传算法建立了代数方程组求解问题的通用模型 ;然后阐述了具体的求解过程 ;最后分析了该法的特点和性能 .实验表明该法是有效可行的 ,进一步提高解精度的关键在于对遗传算法本身的研究 .

地球物理场中煤层气渗流控制方程及其数值解

为探索地球物理场中原地煤层气运移能力对煤层气储集和富集能力的影响,以地应力场、地温场中煤层气连续性方程、气体状态方程、吸附方程、渗流方程为基础,建立了应力、温度影响下的煤层气渗流控制方程。方程体现了地应力和地温对煤层气压力、含量、渗透率和孔隙率的影响,其中,应力和温度通过影响煤层气压力影响吸附量,通过影响煤层气压力和孔隙率影响游离量;温度还通过影响吸附常数b影响吸附量;不同的应力、温度组合条件下,渗透率的变化机制不同。通过Kaiser声发射原岩应力测试实验、不同温度下煤的甲烷等温吸附实验、不同温度及有效应力下煤体中甲烷渗流实验以及煤的孔隙率、工业分析等实验,研究应力、温度影响下的煤层气渗流特征。不同温度下煤的甲烷等温吸附实验表明,吸附常数a随温度变化不明显,b随温度升高而下降;不同温度、不同有效应力条件下煤的甲烷渗流实验表明,小有效应力条件下,煤体中甲烷渗透率随温度升高而升高;大有效应力条件下,渗透率随温度升高而下降。以实验数据和原始地质资料为基础,采用有限差分法,进行了地球物理场中原地煤层气渗流运移能力的一维、二维数值模拟。计算表明:研究区现今原地煤层气渗流运移导致的煤层气散失甚微,低渗煤层具有良好的储集和富集能力,但不利于后期开采,卸除地应力和升高温度是提高煤层气抽采率的有效途径。

低渗透多孔介质渗流动边界模型的解析与数值解

考虑启动压力梯度的低渗透多孔介质非达西渗流模型属于强非线性动边界问题,分别利用相似变量变换方法和基于空间坐标变换的有限差分方法,对内边界变压力情况下、考虑启动压力梯度的一维低渗透多孔介质非达西渗流动边界模型进行了精确解析与数值求解研究.研究结果表明:该动边界模型存在唯一的精确解析解,且所求得的精确解析解可严格验证数值解的正确性;且当启动压力梯度值趋于零时,非达西渗流动边界模型的精确解析解将退化为达西渗流情况下的精确解析解.由求解结果作出的非零无因次启动压力梯度下的地层压力分布曲线表现出紧支性特点,其与达西渗流模型的有显著不同.因此,研究低渗透多孔介质中非稳态渗流问题时,应该考虑动边界的影响.研究内容完善了低渗透多孔介质的非达西渗流力学理论,为低渗透油气藏开发的试井解释与油藏数值模拟技术提供了理论基础.

幂律流体偏心环空波动压力数值解

钻井液性能和环空几何形状对波动压力影响很大。本文建立了双极坐标下非牛顿流体偏心环空稳态波动压力的控制方程，利用盒式积分法和有限差分法推导了椭圆型变系数非齐次偏微分方程的数值模型，以幂律流体为例计算了下套管作业时所产生的激动压力梯度和偏心环空速度分布。模型计算结果表明：随偏心度增加，波动压力减小，偏心环空宽、窄间隙内速度分布差异增大。管柱完全平躺于井眼下侧时的波动压力大约只有管柱居中时的一半。文中还把数值模型计算结果与经验模型和近似模型计算结果进行了对比。

非饱和流动问题的SUPG有限元数值解法

本文将ＳＵＰＧ（Ｓｔｒｅａｍｌｉｎｅｕｐｗｉｎｄ／Ｐｅｔｒｏｖ—Ｇａｌｅｒｋｉｎ）有限元方法应用于非饱和流动的Ｒｉｃｈａｒｄｓ方程，导出了数值表达式，并且对一维入渗问题进行了数值计算．计算的结果表明：本文的方法是精确、收敛和稳定的，可用于非饱和带水分运动的实际计算．