借助常数列,求解数列通项公式

在对数列知识的考查中,数列通项公式是其中的必考知识点,同时也是难点.在数列问题中,常数列是最为简单的数列,因此在解答数列通项公式问题中,可以通过构造常数列降低解题难度.为帮助学生掌握常数列的构造方法,本文结合实际问题进行分析,以期提高学生对知识的掌握程度.

巧用“同构法”求数列的通项公式

“同构法”不但可以求解有关导数、不等式、方程和解析几何等问题,同样地,它在数列问题中也有着广泛的应用.用“同构法”解决数列问题时,通常需要构造辅助数列,然而,当递推公式比较复杂时,如何构造关于an+1和an的同构式,是值得探究的问题.下面笔者举例介绍运用“同构法”求数列通项公式的十种常见策略,以期对读者复习有所帮助.

"一类数列通项求解"的深度教学策略

在深度教学思想引领下,对一类已知递推公式求解通项公式的本源进行探究.通过对等差数列、等比数列通项公式推导过程的学习,进一步理解累加法和累乘法的本质;把等差数列、等比数列递推公式中的常量换为变量来展示知识的迁移能力.通过递推关系的触类旁通、由浅入深,实现对数列问题的本质认识和思维的飞跃,从而达到从知识到能力的转化,提升学生的数学核心素养.

一道课本习题的推广——兼谈Fibonacci倒数列

先从三种不同的视角来证明一道课本习题,然后结合Fibonacci倒数列的性质给出习题的推广,最后给出Fibonacci倒数列的一个恒等式与两个推论.

夯实基础·突出综合·关注应用·适度创新——2024年高考数学之数列命题方向预测

我们对近几年新高考(2020-2023)数学试题(主要是全国卷,但不拘泥于全国卷)中的有关数列的试题归纳分析以后,发现这几年高考数学卷中的数列部分试题考查重点如下页表。从表中我们可以发现,新高考数学考查的“四翼”要求(基础性、综合性、应用性、创新性)在数列这部分主要表现为:考查基础性主要围绕等差数列的基本量(a_1,d)或等比数列的基本量(a_1,q)展开,某些特殊情况下,也可能只有一个已知条件,从而不能将相应的等差或等比数列完全确定。

差比复合型数列的六种解法及其应用

差比型复合数列的求和问题是高中数学中数列内容的一个重点,也是学生容易丢分的题型.文章先从不同的视角给出差比复合型数列的六种求和方法,然后结合高考题,谈谈这些方法在高考题中的应用.

例谈放缩法证明一类数列不等式的策略

数列不等式是近年高考中的一类热点题型,本文主要研究一类不可求和型的数列不等式,即Σ_(k=1)^(n)a_(k)≤m,其中数列{a_(n)}不可求和.求解这类数列不等式,常用的方法是放缩法,即需要构造一个可求和数列{b_(n)},使得a_(n)≤b_(n),且Σ_(k=1)^(n)b_(k)≤m.放缩法技巧性极强,而且放缩法的关键是如何巧妙构造数列{b_(n)},也就是放缩法中所说的“度”,如果“度”把握不好,就不能得到要证明的不等式,这给学生解决此类问题带来极大的困惑.基于此,本文对该类型问题进行分类和总结,得到六种常见的数列求和放缩模型,让学生感到这类数列不等式也是有法可依、有章可循的.

在探究中不断提升解题能力——关于四类数列通项的求解

数列章节主要学习了两类特殊的数列:等差数列和等比数列.在教材中等差数列和等比数列的通项公式推导均采用了归纳推理法,这有利于培养学生的观察能力、归纳能力以及探究、创新精神,但不能做为严格的证明推理过程.基于此,现给出如下严格的证明,旨在启迪思维.

关于自然数数列一个性质的探究

数列是重要的离散模型,在数学学习中占有重要的地位.而等差、等比数列是研究其它数列的基础,其中的自然数数列又是基础中的基础,它有一系列良好的性质.本文就自然数数列一个特殊的性质进行探究:即对自然数数列而言,前n项和S_(n)也是数列中的项.就这一性质思考:还有没有其它的等差数列也满足这个性质?如果要满足此性质,其首项和公差需要满足怎样的条件?

深度解读教材 发展专业素养——以“数列的通项公式”为例

常数列是一类特殊的数列,当数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n时,则称数列{a_n}为常数列,此时通项公式a_n=a_1,很简便.很多场合下,利用待定系数法构造常数列,可以迅速求出数列的通项公式,而这是从深度解读教材中得到的.一、教材深度解读,构造常数列1.对等差数列与等比数列对等差数列{a_n}而言,因a_n=a_1+(n-1)d,变形有a_n-n_d=a_1-d,这样{a_n-nd}是一个常数列.即等差数列的问题可以化归为常数列的问题.

利用待定系数法巧求递推数列的通项公式

求递推数列的通项公式,是数列问题的一个重点与难点,求递推数列通项公式的一般方法是用代数恒等变形的方法,将递推关系化归为一个等差关系或一个等比关系,用等差数列或等比数列的通项公式求通项.在求递推数列通项公式的过程中,如果递推关系化为等差关系或等比关系这一过程用待定系数法变形,这样的方法效果更加明显,针对性更强,可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍之效,下面介绍如下:1.求a_(n+1)=pa_(n)+f(n)型递推数列的通项公式例1已知a,=1,a_(n+1)=2a_(n)+3^(n)+1(n∈N^(*)),求a_(n).

聚焦高考中数列的经典题型

数列在高中数学中是一个比较独立的模块,在高考中占据一定的比例。在近几年的高考中,数列问题常常以一道解答题或两道小题(选择或填空)的方式进行考查。数列解答题多以等差数列或等比数列为载体,考查数列的通项、前n项和、求最值、证明等差或等比数列、证明不等式、求参数的取值范围等。下面结合最新模拟试题介绍数列解答题的几种题型,供大家参考。

证明不等式之数列放缩的分析

数列中一些基本知识点(如等差数列、等比数列的概念、性质以及前n项和等)经过多次练习,大部分学生能基本掌握,但是利用放缩法证明数列中的不等式技巧性比较强,很多学生找不到其中的“套路”.数列与不等式的结合一般有两种类型:一种是利用基本不等式求数列的最值;另一种是与求和相结合,证明不等式或求参数的取值范围,一般需要借助数列通项的特征,先求和再放缩或先放缩再求和证明不等式。

循环小数化为分数教学中等比数列的应用

纯循环小数与混循环小数是初等数论中常讲解的内容,但怎样把此两类小数化为分数却没有讲解,通过利用中学的等比数列把纯循环小数和混循环小数化为分数,并给出了纯循环小数和混循环小数化为分数的计算公式。为中小学数学教师教学中,把循环小数化为分数提供了一个有力的计算公式。

新时代高等数学“金课”建设新思路设计与研究——以数列极限概念为例

随着科技的发展、时代的进步,偏向于理论推导的“高等数学”课程传统教学模式已无法满足这个时代社会对人才的需求,而“金课”是知识、能力和素养的融合,不仅让学生获得知识、掌握技能,更重要的是培养其创造性思维和解决复杂问题的综合能力。本文将开展基于“金课”的“高等数学”教学研究工作,为进一步构建本科数学类金课课程提供积极探索,并以数列极限概念为例阐释其在高等数学“金课”探索中的应用。

一个涉及等差数列平方根不等式的加强

应用构造求和相消与待定系数法,建立关于等差数列{a_(k)}各项平方根倒数之和Σ_(k=m)^(n)1/√a_(k)的上、下限估计,加强了涉及等差数列的若干已有结论.

浅谈学习数列极限定义的几点注记

极限理论是高等数学的基础,数列极限又是极限理论的基础,掌握好数列极限定义是学好高等数学的必要前提.介绍学生学习数列极限定义的几点注记和常用的几种方法,让学生对数列极限定义有更深刻的理解,为学生提供更多解题思路,帮助学生灵活运用数列极限定义解题,提升学生的数学素养和思维能力.

用生成函数求几类数列的通项公式

高中数学数列通项公式不仅是高考考查的重点和热点,还是高等数学的重要基础.利用高中数学数列通项公式的求解技巧,可以有效培养学生的数学思想和数学学科素养.文章介绍了生成函数,并利用生成函数来求解几类有难度的数列的通项公式.

回归基础 探究本质——利用放缩法解数列不等式问题的教学启示

数列与不等式是高中数学的重要内容,而数列中的不等式问题是数列学习的难点.此类问题通常较为复杂,且难度系数较大,对学生的逻辑推理和数学运算能力有较高的要求,学生在解答这类问题,往往需综合运用数列、不等式、函数等知识.放缩在解决数列不等式问题的过程中能达到化繁为简、深入浅出的效果。结合数列的基础知识,巧妙利用不等式放缩,寻找化归的突破口。

等价数列的性质及应用

将集合论中的等价关系引入到数学分析中,给出了等价数列的概念及若干性质,并举例说明了等价数列在数学分析、线性代数和泛函分析中的应用.