数式通性:代数知识结构化的整体性教学

数式通性是代数知识结构化的一个代表性表现.数与代数式的运算在算理、算法、运算顺序和运算律等方面均有整体性和一致性,即“数式通性”.代数教学中,应遵循数式通性的一般原理和原则,引导学生从整体上认识数与式的概念、性质、运算等的内在关联,重视数式通性所反映的一致性,强化类比和迁移,构建结构化的整体性教学.

关联数式通性 提升数学素养——“二次根式的加减(1)”教学设计与教学实施反思

课标强调知识结构化,数式通性便是代数知识结构化的一个具体体现.以“二次根式的加减(1)”教学为例,从关联数式通性、实现算法迁移、提升数学素养视角进行教学设计.通过生活数学、思考交流、问题解决、当堂反馈、总结感悟等环节的教学实施,让学生用好数式通性,明晰算法算理,由此养成良好思维习惯,提升数学核心素养.

立足核心素养 感悟数式通性 提升推理能力——零指数幂和负整数指数幂教学设计及反思

在数学核心素养引领下,以零指数幂和负整数指数幂(第1课时)为例,创设“冲突”情境,激活学生思维,引导学生经历数学知识“再发现”的过程。通过两次类比学习,引导学生感悟数式通性,发展通过特殊结果推断一般结论的推理能力。最后,通过形成关联性知识,明晰概念与法则的内部联系,优化认知结构。建构数学运算体系,提升推理能力,发展学生用数学思维思考现实世界的意识和能力。

用好数式通性,从“数”向“式”自然过渡

“式”是“数”的拓展与一般化,作为运算对象,对“式”的学习是真正的代数学习.在教学中如何引导学生实现从“数”到“式”的自然过渡?笔者认为需要用好“数”与“式”之间的具体与一般关系,用好研究方式与研究结构的一致性,即用好数式通性,帮助学生从“数”的学习顺利过渡到“式”的学习.对学生数式通性观念的培养是一个逐步渗透、逐步递进的过程.文章从对“式”的认识、对运算律的遵循、对算理的理解和技能的落实、对代数体系的构建等不同发展阶段阐述如何实现从“数”向“式”的自然过渡,并提出了后续思考.

关联数式通性 实现算法迁移——“十字相乘法”的教学与思考

算理是算法的理论依据,算法是算理的提炼与概括,是算理的程序化。十字相乘法是算法,教学中教师可以引导学生从数式通性的角度理解十字相乘法的算理,借鉴两个两位数的竖式乘法构建十字相乘法,从而实现算法迁移。

解读教材·理解学生·提升素养——评“整式的加减——合并同类项”一课

通过观摩展示课“整式的加减——合并同类项”,发现教师能够深刻解读教材,注重引领学生借助数的运算的学习经验与方法探究整式的运算,进而对获取的结论不断归纳形成新知,并应用新知解决问题.通过本节课的学习,学生经历了完整的概念形成的过程,并感受了数式通性,加深了对数学知识的理解与应用,为后续学习奠定了基础.

基于学习价值观念的教学改进与思考--例谈“因式分解”概念教学

通过对教材编写思路和教材典型课例的分析,发现并提出因式分解概念教学普遍存在问题:价值观念缺失、学科思想缺位、教学方向偏离等问题.通过评价、分析,优化教学设计,进而提出为什么教、怎么教以及如何精准把握教学内容和方向等具体策略.

“整式的加减——合并同类项”教学设计

教师引领学生借助学习数的经验和方法探究整式的运算,进而对获取的结论不断归纳形成新知,并应用新知解决问题.通过本节课的学习,学生经历了完整的概念形成过程,感受了数式通性.在探究的过程中,培养了学生的抽象能力、运算能力、推理能力、创新意识、应用意识等,也为后续代数的学习奠定了基础.

同向同行 美美与共——2021年中考“数与式”专题命题分析

以发展学生核心素养为导向,有效落实《义务教育数学课程标准(2011年版)》基本理念,是教学与评价的共同目标.2021年全国各地中考数学试题“数与式”相关内容的命题,更加关注用字母表述代数式及代数式的运算,强调字母可以像数一样进行运算和推理,突出通过字母运算和推理所获得的结论具有一般性的特征,进一步体现了基于“数系扩充”和“用字母表示数”之后运算法则的一致性.研究“数式通性”,体会“字母”是数学表达和进行数学思考的重要形式,是数学抽象能力、运算能力、推理能力的集中反映,并将这一最具数学特色的思维方式融入中考试题“数与式”专题命题之中,是评价育人效果的重要方面.

关注问题设计,引导素养提升——“二次根式的加减(1)教学设计与反思”

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出,对于数与式的教学,教师应把握数与式的整体性.在二次根式的加减(1)的教学中笔者以关注数式通性、关注整体教学、关注素养培养为抓手进行教学设计.本文通过导入新知、建构新知、巩固新知、深化新知、回味新知、延伸新知六个环节开展教学,从而有序培养学生的核心素养.

小括号中的大问题——“整式的加减(第3课时):去括号”教学设计与评析

整式的去括号法则是是整式加减的基础，也是今后学习因式分解、分式运算及解方程的基础．字母可以表示数，使整式运算与有理数运算具有一致性．类比数的运算，让学生体会在数的运算中遇到括号时怎样去掉括号，去掉括号的理由是什么．在学生清楚数的运算中去括号的算理后，可以让学生归纳得出去括号时符号的变化规律．

怎么教比教什么更重要——听“合并同类项”有感

“合并同类项”一课是初用字母表示数的整式运算的起始课．执教教师这节课的亮点是渗透数式通性的核心思想，凸显数学抽象这一核心素养，充分引导学生自主探究．对数学知识追本溯源，践行了回归数学本质的理念．

New semidefinite programming relaxations for box constrained quadratic program

We establish in this paper optimal parametric Lagrangian dual models for box constrained quadratic program based on the generalized D.C.(difference between convex) optimization approach,which can be reformulated as semidefinite programming problems.As an application,we propose new valid linear constraints for rank-one relaxation.