数学物理方程离散特征值问题的几何网格因式分解算法

本文提出求解数学物理方程大型离散特征值问题的几何网格预变换块因式分解算法(简称GPA算法)通过长期研究我们发现:结构化网格矩阵G满足幂等方程G^(m)=I_(N),(m<N=dim(G)),故可在实数域或复数范围内进行因式分解;且G与有限元刚度矩阵A之间乘法存在互易性:A·G=G·A,利用G的几何不变性可把N阶大型矩阵A正交分解为m一块对角块矩阵异步并行是我们算法的计算数学基础。本文以正三角形、方形、平行六边形及正十七边形等结构化网格为例,特别是详细分析了六边形上的离散特征值异步并行算法及程序实现细节.文后附有若干2-3万阶量级离散矩阵特征值的桌面电脑数值计算例子(正三角形与方形网格,串行加速比分别为3-4倍),符合本文算法分析得出的“几何网格预处理的并行度与正多边形边数成正比”的结论.这类几何网格因式分解算法原则上可推广到三维乃至高维数学物理方程离散特征值计算问题,也可用于大型线性方程组的高效并行求解.

GPA:基于多面体网格几何并行性的矩阵特征多项式异步因式分解器--纪念我国现代计算数学的开拓者之一周毓麟先生诞辰100周年

满足高次方程G^(m)=I的几何网格矩阵G,可在复数范围内进行因式分解,并且G与偏微分方程(partial differential equation,PDE)离散后的刚度矩阵A和质量矩阵B之间的乘法存在互易性:AG=GA,BG=GB,从而利用几何不变性可以将A正交分解为m-块对角块矩阵(m<N=dim(A)).本文在作者前期工作的基础上,继续深入研究求解数学物理方程离散特征值问题的几何网格异步因式分解算法(geometry pre-processing asynchronous algorithm,GPA),针对非规则的二维单元和典型三维单元(如六面体、四面体和十二面体单元等),提出计算PDE离散特征值问题的高效异步并行预处理降阶算法,给出相关的理论证明及数值计算实例.通过研究得到“三维几何网格预变换的并行度主要与多面体的面数成正比”的结论,并进一步揭示“几何网格矩阵与刚度矩阵的互易性对于特征值并行计算降阶算法的特殊重要性”。