一个关于自然数数码平方和问题的推广

设 f (x)为定义在 { 0 ,1 ,2 ,… ,9}取值为非负整数的函数 ,对于任意自然数 n,设 n的十进制表示为 n =a1a2 … at,定义 F(n) =∑ti=1f (ai) ,记 F(1) (n) =F(n) ,F(2 ) (n) =F (F(1) (n) ) ,… ,则总存在自然数 k,使得 F(k) (n)落入有限个循环圈 { a11,a12 ,… ,a1r1} ,… ,{ am1,am2 ,… ,amrm}内 ,其中 { ai1,ai2 ,… ,airi}满足 F (ai1) =ai2 ,F (ai2 ) =ai3,… ,F (airi) =ai1(i =1 ,2 ,… ,m) .